华师 九年级 下册 数学《阶段拔尖专训8 隐形圆模型》课件.pptx

阶段拔尖专训8隐形圆模型

1．如图，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，求OM的最大值．

【解】∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C在以点B为圆心，2为半径的⊙B上．如图，取OD＝OA＝4，连结CD，BD，延长DB交⊙B于点N.

【解】∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AFE，∴AF＝AB＝4.∴点F在以点A为圆心，4为半径的圆上．易知点F到CD的距离的最小值等于圆心A到CD的距离减去圆的半径4，如图，过点A作AH⊥CD于点H，则A到CD的距离为AH的长，∴F到CD的距离的最小值为AH－4.

3．如图，菱形ABCD的边长为6，∠C＝60°，E，F分别是边BC，DC上的动点，且BE＝CF，连结BF，DE相交于点P，连结AP，求AP的最大值．

【解】如图，连结BD，AP交于N，∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，∴易得△ABD和△BCD是等边三角形，∴BD＝BC，∠BAD＝∠DBE＝60°，∴∠DBE＝∠C.又∵BE＝CF，∴△DBE≌△BCF，∴∠BED＝∠BFC，

∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠BFC＋∠CED＝180°.∵∠BCD＝60°，∴∠EPF＝360°－180°－60°＝120°＝∠BPD，∴∠BPD＋∠BAD＝180°，∴易得A，B，P，D四点共圆．

4．如图，BD是等边三角形ABD与三角形DBC的公共边，且BD＝4，∠BCD＝30°.

(1)连结AC，请探究AC，BC，CD三条线段的数量关系；【解】以BC为边作等边三角形BCP，连结DP，如图①，∵△ABD与△BPC是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBP＝∠BCP＝60°，AB＝BD，BC＝BP＝CP.∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBP＋∠DBC，即∠ABC＝∠DBP.

∴△ABC≌△DBP.∴AC＝DP.∵∠BCP＝60°，∠BCD＝30°，∴∠DCP＝90°.在直角三角形DCP中，由勾股定理得DP2＝CP2＋CD2.∴AC2＝BC2＋CD2.

(2)若点E是等边三角形ABD内部一点，且满足∠DEB＝150°，求线段AE的最小值．【解】∵点E在△ABD内部，且∠DEB＝150°，∠C＝30°，∴∠DEB＋∠C＝180°.∴易得点D，E，B，C四点共圆．如图②，以点O为圆心作△BCD的外接圆，连结DO，BO，AO，AO交BD于点F，易知当点E为AO与⊙O的交点时，AE的值最小．

∵∠C＝30°，∴∠DOB＝60°.∵DO＝BO，∴△DOB是等边三角形．∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BA＝BD＝OB＝DO＝4，∴四边形ABOD是菱形．

5．[2023菏泽改编]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，ADBC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，求线段BF的最小值．

【解】如图，设AD的中点为O，以O为圆心，AD为直径画半圆，连结OB，设OB与半圆O的交点为F′.∵∠BAD＝90°，∠ADF＝∠BAE，∴∠BAE＋∠DAF＝∠ADF＋∠DAF＝90°.∴∠DFA＝180°－90°＝90°.∴点F在以AD为直径的半圆上运动．

7．[2024厦门月考]如图，在△ABC中，BC＝2,点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为________．

8．如图，在四边形ABCD中，AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥AD，求BD的最大值．【解】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连结CO并延长，交⊙O于点F,连结AF.

易知点B恒在优弧AC上，∴当BD经过圆心O时取得最大值．∵CF经过圆心O，即CF为⊙O的直径，∴AC⊥AF.又∵AC⊥AD，∴点D，A，F在同一直线上．∵∠AFC＝∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△CDF是等边三角形．∴CF＝DF＝2AD＝4.