与反比例函数有关的压轴题.docVIP

(六)与相似三角形有关的压轴题

1．(08苏州)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点．建立如下图的坐标系，轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置〔假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．

(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(，)、B(，)和C(，)；

(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。

2．〔08湖州〕：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如下图的平面直角坐标系．是边上的一个动点〔不与重合〕，过点的反比例函数的图象与边交于点．

〔1〕求证：与的面积相等；

〔2〕记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

〔3〕请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．

3．〔08泸州〕如图，，，……在函数的图像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜边、、，……都在轴上

⑴求的坐标

⑵求的值

4．〔08金华〕如图1，双曲线y=(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答以下问题：

〔1〕假设点A的坐标为(4，2).那么点B的坐标为；假设点A的横坐标为m，那么点B的坐标可表示为；

〔2〕如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=(k0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行囚边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是短形吗?可能是正方形吗?假设可能，直接写出mn应满足的条件；假设不可能，请说明理由.

5．(08德州)〔1〕探究新知：

如图1，△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

〔2〕结论应用：

①如图2，点M，N在反比例函数〔k＞0〕的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．

试证明：MN∥EF．

②假设①中的其他条件不变，只改变点M，N

的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．

A

A

B

D

C

图1

x

x

O

y

N

M

图2

E

F

x

N

6．(08内江)如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于两点，与轴交于点，与轴交于点，．且点横坐标是点纵坐标的2倍．

〔1〕求反比例函数的解析式；

OxyACDB〔2〕设点横坐标为，面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

O

x

y

A

C

D

B

7．〔07常州〕A〔－1，m〕与B〔2，m＋3EQ\R(3)〕是反比例函数y＝EQ\f(k,x)图象上的两个点．

〔1〕求k的值；

〔2〕假设点C〔－1，0〕，那么在反比例函数y＝EQ\f(k,x)图象上是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为梯形？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由．

A

A

B

C

x

y

1

1

－1

O

－1

8．〔07济宁〕

〔1〕矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？

对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x＋y＝6，xy＝4．

请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程．

O

O

x

y

2

2

4

4

6

6

8

8

第〔1〕题图

〔2〕矩形A的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？

小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？

O

O

x

y

1

1

2

2

3

3

4

4

第〔2〕题图

9．〔07长春〕如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过A作x轴的平行线，交函数的图象于B，交函数的图象于C，过C作轴的平行线交BD的延长线于D．

〔1〕如果点A的坐标为〔0，2〕，求线段AB与线段CA的长度之比．

〔2〕如果点A的坐标为〔0，a〕，求线段AB与线段CA的长度之比．

〔3〕在〔2〕的条件下，四边形AODC的面积与．

10．〔07上海〕如图，在直