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求不定方程整数解的常用方法

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制〔如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活泼的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)别离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数局部别离出来，那么剩下局部仍为整数，那么令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例1求不定方程的整数解

解方程可化为

因为y是整数，所以也是整数.

由此

x+2=1，-1，3，-3，即

x=-1，-3，1，-5，

相应的

所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);

第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2求不定方程的整数解.

解因为,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

从最后一个式子向上逆推得到

所以

那么特解为

通解为

或改写为

不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

例3求方程适合的正整数解.

解因为

所以

所以

即

所以

所以

当时有

所以

所以

所以

所以

当时有

所以

所以

所以

所以

逐渐减小系数法

此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去〕得到原方程的通解.

例4求不定方程的整数解.

解因为，所以原方程有整数解.

有，用来表示，得

那么令

由437,用来表示,得

令将上述结果一一带回，得原方程的通解为

注?解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.假设有解,可先求的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.

?对于二元一次不定方程来说有整数解的充要条件是.

(5)别离常数项的方法

对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

例5求不定方程的整数解.

解原方程等价于

因为

所以

所以原方程的通解为

(6)奇偶性分析法

从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用或代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

例6求方程的正整数解.

解显然,不妨设

因为328是偶数，所以、的奇偶性相同，从而是偶数.

令

那么、

所以

代入原方程得