高等数学-8.2 二重积分的计算.pptVIP

8.2二重积分的计算

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

由曲顶柱体体积的计算可知,当被积函数f(x,y)0



且在D上连续时,若D为X–型区域yy2(x)

(x)y(x)D

D:12

x

axboabx

y1(x)

b2(x)

则f(x,y)dxdydxf(x,y)dy

Da1(x)

yx(y)

(y)x(y)2

若D为Y–型区域D:12d

cydy

x1(y)

d2(y)c

则f(x,y)dxdydyf(x,y)dxox

Dc1(y)

利用直角坐标计算二重积分

当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于

f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)

f(x,y)

22

f(x,y)均非负

f1(x,y)2

f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy

DD1

f(x,y)dxdy

D2

因此上面讨论的累次积分法仍然有效.

利用直角坐标计算二重积分

(1)若积分区域既是X-区域又是Y-型区域，则有

y

f(x,y)dxdyy2(x)

Ddx(y)

(x)2

b2x1(y)

dxf(x,y)dy

a1(x)yD

d(y)y1(x)

dy2f(x,y)dxc



c1(y)oaxbx

为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.

若积分域较复杂可将它分成若干y

(2),D2

个X-型域或Y-型域,则D1

D3

DD1D2D3

ox

利用直角坐标计算二重积分

例1.计算Ixyd,其中D是直线y＝1,x＝2,及

D

＝所围的闭区域

yx.y