弹性力学教学课件第8章 空间问题及其解答.docx

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12制作：马宏伟，张伟伟zwwps@126.com东莞理工学院

弹性力学

配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12

制作：马宏伟，张伟伟

zwwps@126.com

东莞理工学院

空间问题及其解答

Spaceproblemsandtheirsolutions

直角坐标系下的弹性力学问题

柱坐标系下的弹性力学问题

03

球坐标系下的弹性力学问题

04

空间问题的位移势函数的引用

05

勒夫位移函数

1

06

伽辽金位移函数

H

半空间体表面受法向分布载荷问题

n

08

两球体之间的接触压力

n

09

空间问题的应力求解法

01直角坐标系下的弹性力学问题Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

01

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

空间问题基本方程

空间问题的基本未知量：———6个形变分量；————6个应力分量；

————6个应力分量；

————3个位移分量；

(1)平衡微分方程

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

空间问题基本方程

(2)几何方程

(3)物理方程

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

位移法求解空间问题

其中θ=ε

2.将空间问题几何方程代入上式，得

σ

σ

[

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

位移法求解空间问题

3.此时θ=

E

E

E

上式中，只含有三个位移分量，共三个方程，理论上在边界条件的限定下，就可以得到问题的唯一解。

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

例题1

设有一无限大厚弹性板放置在一刚性平面上，如图所示，板厚度为h，弹性体密度为ρg，上表面受大小为q的均布载荷，试求该弹性体的弹性力学解。

解：分析体力，由于本题中体力由重力产生，得

f

由于弹性体在无限大范围内受均布载荷作用，因此任一竖直平面都可以是该问题的对称面，因此

u

按位移写出的平衡方程，得

θ

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

例题1

将体力、位移代入按位移写出的平衡方程中，有

E2

积分，得将位移分量代入应力分量的表达式

θ=d

w=-1

τ

其中，A和B为任意常数。

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

例题1

边界条件

上表面：σ

下表面：w|z=h

求解上表面边界条件A=

B

将A、B的解代回位移分量和应力分量的表达式，得位移分量为

w

直角坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincartesiancoordinatesystem

例题1

应力分量为σ

σ

σ

τ

最大位移发生在弹性体的上表面

w

此外，垂直截面上的应力σ?和σ，与水平平面上的应力σ，之比是一个完全由泊松比μ决定的常数σx

σ

这在土力学中被称为侧压力系数。

02柱坐标系下的弹性力学问题Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem

02

柱坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem

柱坐标系下的弹性力学问题

Elasticmechanicsproblemsincylindricalcoordinatesystem

01柱坐标系

柱坐标是