高考一轮复习理数教师用书第五章平面向量.doc

第五章平面向量

第一节向量的概念及线性运算

本节主要包括2个知识点：

1.向量的有关概念；

2.向量的线性运算.

突破点(一)向量的有关概念

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量，平面向量可自由平移

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)

平行向量

方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量

0与任一向量平行或共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

向量的有关概念

[典例](1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件的序号为________．

①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.

(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是________．

[解析](1)因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除①②④.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件．

(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案](1)③(2)3

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(―→))|且eq\o(AB,\s\up7(―→))∥eq\o(DC,\s\up7(―→)).又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up7(―→))∥eq\o(DC,\s\up7(―→))且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(―→))|，因此，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.

答案：②③

2．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为________．

解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个．

答案：3

3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与eq\o(OC,\s\up7(―→))相等的向量有_____