高考一轮复习理数课时达标检测（六十）选修4-2《矩阵与变换》.doc

课时达标检测(六十）选修42《矩阵与变换》

1.(2018·苏北四市摸底)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,1x))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,2－1))，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,y))，若Aα＝Bα，求实数x，y的值．

解：Aα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2y－2,2＋xy))，Bα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋y,4－y)).

由Aα＝Bα得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2＝2＋y，,2＋xy＝4－y，))得x＝－eq\f(1,2)，y＝4.

2.(2018·南京、盐城、连云港、徐州模拟)已知a，b是实数，如果矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b－2))所对应的变换T把点(2,3)变成(3,4)．

(1)求a，b的值；

(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.

解：(1)由题意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b－2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＋3a＝3，,2b－6＝4，))

所以a＝－1，b＝5.

(2)由(1)得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,5－2)).由矩阵的逆矩阵公式得B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,5－3)).

所以B2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,－54)).

3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1,2)在矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))对应的变换作用下得到点A′，将点B(3,4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．

解：设B′(x，y)，

依题意，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，得A′(1,2)．

则A′B―→＝(2,2)，A′B′―→＝(x－1，y－2)．

记旋转矩阵N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y－2))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4，))

所以点B′的坐标为(－1,4)．

4．(2018·南京、盐城模拟)设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,21))的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．

解：由题意，矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)·(λ－1)，因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)＝0，所以a＝2.

设曲线C上任意一点坐标为(x，y)，在矩阵M变换下得到的点为(x′，y′)，

所以Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x,2x＋y))，

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2x＋y，))

代入方程x′2＋y′2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.

5．(2017·江苏高考)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1