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上海市各地市2025年高考数学必威体育精装版联考试题分类大汇编

第7部分:平面向量

一、选择题：

2．(上海市十校2025-2026学年第二学期高三第二次联考理科)设，若，则实数=-3．

5、(上海市虹口区2025-2026学年第二学期高三教学质量测试理科)以为起点作向量，，终点分别为、．已知：，，，则的面积等于4．

12.(上海市五校2025年联合教学调研理科已知函数y=f(x)的图像是开口向下的抛物线，且对任意x∈R，都有f(1-x)=f(1+x)，若向量，则满足不等式的实数m的取值范围是。

7．(上海市闵行区2026届高三下学期质量调研文科)经过点且法向量为的直线的方程为.

OABCEFxy12．(上海市闵行区2026届高三下学期质量调研文科)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为.

O

A

B

C

E

F

x

y

6、(上海市奉贤区2025年4月高三调研测试)已知的夹角为则在上的投影为1

8、(上海市徐汇区2025年4月高三学习诊断文科)已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为1。

10.(上海市卢湾区2025年4月高考模拟理科)一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是．

13．(上海市卢湾区2025年4月高考模拟理科)已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为．

三、解答题：

21．(上海市十三校2025年高三第二次联考理科)（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设，，定义一种向量运算：，已知，

，点在函数的图象上运动，点在函数的图象上运动，且满足（其中为坐标原点）。

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，且的定义域为，值域为，求的值。

21．（1）设，，则由得。……………（2分）

即，消去，得，即。……（6分）

（2），（9分）

因为，所以，所以。………（10分）

当时，，解得。当时，，解得。………（14分）

21.(上海市闵行区2026届高三下学期质量调研文科)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

已知是线段外一点，若，.

（1）设点、是线段的三等分点，试用向量、表示；

（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.

说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.

21.解：（1）如图：点、是线段的三等分点

，则，同理，（2分）

所以（4分）

ABOPQA1（2）层次1：设

A

B

O

P

Q

A1

设是的四等分点，则

等等（结论2分,证明2分）

层次2：设是的等分点，

则等；（结论2分，证明4分）

层次3：设是的等分点，

则；（结论3分，证明7分）

证：是线段的等分点，先证明这样一个基本结论:

.

由,,因为和是相反向量，

则,所以.

记，

相加得

20．(上海市杨浦区2025年4月高三模拟理科)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知向量,，.

（1）若，求向量、的夹角；

（2）若，函数的最大值为，求实数的值.

20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

解：（1）当时，，……………1分

所以………4分

因而；……6分

（2），………………7分

……10分

因为，所以………11分

当时，，即，…………12分

当时，，即.……………13分

所以.……………14分

21．(上海市卢湾区2025年4月高考模拟理科)（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．

已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且

．

（1）求椭圆的方程；

（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．

21．解：（1）设点的坐标分别为，

则

故，可得，…2分

所以，…4分

故，

所以椭圆的方程为．……………6分

（2）设的坐标分别为