2025年中考数学复习提升训练：几何猜想与证明压轴题.docxVIP

2025年中考数学复习提升训练：几何猜想与证明压轴题

1．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点．

(1)猜想：如图1所示，当时，则______；

(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；

(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．

2．在等边三角形中，线段绕点顺时针旋转度至，连接，，交于点．

(1)如图1，当旋转角为时，已知，求的面积．

(2)如图2，点是线段上一点，连接与相交于点，若．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．

(3)如图3，在（1）的条件下，点为平面内所在直线上方一动点，满足，点为射线上一点，使得，请直接写出的最小值．

3．如图，在等边中，点是平面内一点．

(1)如图1，若点在的延长线上，且，，求的长；

(2)如图2，若点在的垂直平分线上，交于点，点是的中点，连接，，，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，若点在的延长线，连接，点是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，，直接写出的最小值．

4．综合与探究

【问题情境】如图1，将绕点顺时针旋转，得到．

【初步探究】

（1）当时，与的位置关系为______．

【猜想与证明】

（2）探索小组进行如下操作：如图2，延长，交于点，交于点，求证：．

【问题解决】（3）如图3，在矩形中，，对角线交于点．将矩形绕点顺时针旋转，点的对应点，当点恰好与点重合时，与交于点的延长线与交于点，求的长．

5．综合与探究

问题情境：

在正方形中，E是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点B的对应点落在正方形内．

猜想证明：

（1）如图1，连接并延长，交边于点F．求证：．

（2）如图2，当E是边的中点时，连接并延长，交边于点H，将沿直线翻折，点D恰好落在直线上的点处，交于点M，交于点N．试判断四边形的形状，并说明理由．

问题解决：

（3）在（2）的条件下，若，请直接写出四边形的面积．

6．如图，在△ABC中，，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，垂足为E．

(1)如图1，求证：．

(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点F，连接的延长线与的延长线相交于点P，猜想与的数量关系，并加以证明．

(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接，若，求的面积．

7．【基础回顾】

（1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为；

【类比探究】

（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；

【联想拓展】

（3）如图3，在中，，，点P在上，求，，

之间存在的数量关系．

8．探究等边三角形“手拉手”问题．

(1)如图1，已如，均为等边三角形、点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由；

(2)如图2，已知、均为等边三角形，连接、，若，则______度；

(3)如图3，已知点E在等边三角形外，点E、点B位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．

9．已知，在中，，．

(1)如图1，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；

(2)如图2，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：；

(3)如图3，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，猜想：之间的数量关系并证明你的结论．

10．【课本再现】

（1）如图1，是的外角，平分，，则__________．（填“”“”或“”）

【类比迁移】

（2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：．

【拓展运用】

（3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，连接，，点M是射线上一点，且，点N是上一点，连接．若，猜想与的位置关系，并证明．

11．已知为的外接圆，．

(1)如图1，延长至点，使，连接．

①求证：为直角三角形；

②若的半径为4，，求的值；

(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，延长交于点，连接和；试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．

12．（1）问题发现：

如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．

①请直接写出的度数为_____；

②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明；

（2）拓展探究：

图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．

??

13．【问题背景】

在中，，，点D，E分别在线段，上，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，求F落在线段上．

??

【问题初控】

（1）如图1，当，点E与点C重合时，求证：；

【问题提升】

（2）如图2，当，点E在线段上时，过点E作，交线段于点G，猜想线段与线段