高等数学-11.4 全微分方程.ppt

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二、积分因子一、全微分方程及其求法11.4全微分方程

一、全微分方程丹尼尔伯努利如果的左端，恰好为一个二元函数的全微分，即则称（1）式为全微分方程或恰当微分方程.（1）（2）当（1）式是全微分方程时，方程（1）可写成方程（1）的通积分（或隐式通解）为

丹尼尔伯努利根据第九章第三节的原函数存在性条件，可得方程（1）是全微分方程的充要条件及求解方法.定理如果方程（1）中的函数在单连通区域G上连续可微，则方程（1）是全微分方程的充要条件是：定理

求微分方程的通解.例1丹尼尔伯努利所以原方程是全微分方程.所以原方程的通解为解因为取则

丹尼尔伯努利非全微分方程如何求解?是全微分方程.二、积分因子变量分离方程:不是全微分方程.方程两端同时乘以得（1）如果存在连续可微函数使得为全微分方程，则是方程（1）的一个积分因子。定义

丹尼尔伯努利常用的微分公式是方程的一个积分因子.是方程的一个积分因子.

丹尼尔伯努利求解方程例2解直接观察方程的左端，有从而，方程的左端是一个全微分，原函数为

丹尼尔伯努利于是原方程的通积分即为

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