专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【模型一：两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；

图1

【模型二：两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；

图2

【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

图3

【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

图4

【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图5

【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

图6

【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；

【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；

【考点5】一定两动（等线段）转化型；.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【考点1】两定一动型；

【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（）

??

A．12 B．6 C．7 D．8

【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值．

??

【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；

【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（????）

??

A． B． C． D．

【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是．

【考点3】一定两动型（垂线段最短）；

【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（????）

A．4 B． C．5 D．

【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是．

??

【考点4】两定两动型；

【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（????）

A． B． C． D．

【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为．

【考点5】一定两动（等线段）转化型；

【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，∠AFB的度数为（????）

A．75° B．90° C．95° D．105°

【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是．

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为．

【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为．

2、拓展延伸

【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（????）

A．18 B．16 C．14 D．12

【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（????）

A．3 B．4 C．6 D．7