定积分在几何上的应用.pptxVIP

第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长

平面图形的面积一、直角坐标系情形二、极坐标系情形三、小结思考题

一、直角坐标系情形由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:曲边梯形的面积

解3)面积元素2)选x为积分变量,解方程组即这两个抛物线的交点为：xx+dx1)求出两抛物线的交点.

讨论：由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy,

解两曲线的交点选为积分变量y+dyy

01如果曲边梯形的曲边为参数方程02曲边梯形的面积

解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．

二、极坐标系情形o?(?)??+d?r=?(?)面积元素以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：..?dA曲边扇形的面积.r?曲边扇形是由曲线r??(?)及射线???,???所围成的图形.d?

例4:计算阿基米德螺线r=a?(a0)上相应于?从0到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积.ox?r=a?2?a解:取极角?为积分变量,变化区间为[0,2?],取小区间[?,?+d?]，则面积元素

01002r03r=a?04曲线可以看作这种点的轨迹：05动点在射线上作等速运动06同时此射线又绕极点作等速转动阿基米德螺线

阿基米德螺线.01r2曲线可以看作这种点的轨迹：3动点在射线上作等速运动4同时此射线又绕极点作等速转动5从极点射出半射线6r=a?7

阿基米德螺线.0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线r=a?

阿基米德螺线.r这里?从0?+8r=a?02?a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数

阿基米德螺线.0r8当?从0?–r=a?

解利用对称性知心形线也称圆外旋轮线2a

(圆外旋轮线)xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线

(圆外旋轮线).xyoaa2a来看动点的慢动作一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线

xyo2ar=a(1+cos?)0???2?0?r?2aP?r一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。(圆外旋轮线)心形线

01.求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.02.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结

平行截面面积为已知的立体的体积旋转体的体积小结思考题体积

一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台

如何计算黄瓜的体积？旋转体的体积为

解直线方程为不讲

直线方程为”

星形线也称：圆内旋轮线解

星形线xyoa–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。(圆内旋轮线)

xyoa–a来看动点的慢动作一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线(圆内旋轮线)

星形线xyoa–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。来看动点的慢动作.(圆内旋轮线)

(圆内旋轮线)xyoa–a0???2?或.P?.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线

y+dyy

解

旋轮线（摆线）一圆沿直线无滑动地滚动，ax圆上任一点所画出的曲线。

旋轮线（摆线）.一圆沿直线无滑动地滚动，来看动点的慢动作x圆上任一点所画出的曲线。

旋轮线（摆线）.2a2?a0yx?ax=a(t–sint)y=a(1–cost)t的几何意义如图示ta当t从0?2?，x从0?2?a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。一圆沿直线无滑动地滚动，

一、旋转体的体积旋转体的体积为

y+dyy

思考题思考题解答交点立体体积y+dyy

二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.

平行截面面积为已知的立体的体积xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体.aVb

oyRxxy–RR....ytan???问题：还有别的方法吗？(x,y),截面积A(x).例5：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。.

oyRx–RR方法2半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成?角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。