高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版（最全）.doc

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圆锥曲线第1讲椭圆

【知识要点】

一、椭圆的定义

1.椭圆的第一定义：

平面到两个定点EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(F),1)、F的2距离之和等于定长2a〔2aF1F2〕的点的轨迹叫椭圆，这两个

定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和〔记作2a〕大于这两个定点之

间的距离F1F2〔记作2c〕，否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：

〔i〕当2a2c时，点的轨迹是椭圆；

〔ⅱ〕当2a=2c时，点的轨迹是线段EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(F),1)F2；

〔ⅲ〕当2a2c时，点的轨迹不存在。

注2：假设用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(MF),1)+MF2=2a〔2a2c，

12〕，即1212.FF=2cMF+

12〕，即1212.

注3：但凡有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条

MF+MF=2a

件：12千万不可忘记。

2.椭圆的第二定义：

平面到*一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e〔0e1〕的点的轨迹叫做椭圆。

二、椭圆的标准方程

x2+y2=1

（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是a2b2〔ab0〕；

（2）焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是〔ab0〕.

注1：假设题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点终究是在x轴还是在y轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x走，椭圆的焦点在x轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在y轴。

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（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。假设题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为或假设题目未指明椭圆的焦点终究是在x轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mx2+ny2=1〔m0，n0，且m≠n〕.

三、椭圆的性质

以标准方程为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）围：一a≤x≤a，一b≤y≤b；

（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；

（3）顶点：左右顶点分别为A1(一a,0)，A2(a,0)；上下顶点分别为B1(0,b)，B2(0,一b)；

（4）长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；

（5）长半轴a、短半轴b、半焦距c之间的关系为a2=b2+c2；

（6）准线方程：；

b2

（7）焦准距：c；

（8）离心率且0e1.e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；

（9）焦半径：假设P(x0,y0)为椭圆在第一象限一点，则由椭圆的第二定义，

有

PF=a+ex

10，

20；PF=a

20；

2

（10）通径长：

b2

a.

注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点F2(c,0)和右

准线为例，可求得其焦准距为一.

.z

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注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的*一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的*一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为过其焦点F2(c,0)且垂直于x轴的直线

A(c,b2)B(c,一b2)

交该双曲线于A、B两点〔不妨令点A在x轴的上方〕，则a，a，于是该