圆幂定理【选讲】(教师版)-初中数学中考专项《几何模型密训营》专题突破.pdf

圆幂定理【选讲】

一、教学目标

了解圆幂定理，掌握利用相似证明圆幂定理的方法．

二、知识讲解

切线长定理回顾

（）切线长的概念

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（）切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【注意】圆幂定理是补充内容，除了本讲讲义的题目可以直接使用圆幂定理的内容证明，在其他地方如

果要用圆幂定理必须先证明定理内容．

1.相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．

如图，弦和交于⊙内一点，则．

1

【证明】

如图，、为⊙的两条任意弦．相交于点，连接、，由于与同为

弧所对的圆周角，因此由圆周角定理知：，同理，所以．

所以有：，即：．

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

如图，，垂足为点，则．

证明：

（1）如图1，仿照相交弦定理的证明过程，在结合垂径定理中，可以得到

．

（2）如图2，利用双垂直模型进证明，或直接用射影定理得到．

2

例题1

1.请回答下列各题：

（1）如图，的弦与相交于点，已知，，，那么

．

（2）如图，在中，弦与半径相交于点，且，若，，

则的长为（）．

A.B.C.D.

（3）如图，在中，为弦上一点，，交于，那么（）．

A.B.C.D.

3

【答案】（1）

（2）D

（3）B

【解析】（1）由相交弦定理：，

∴．

（2）延长交于点．

∵，

∴，，

由相交弦定理得：，

即：，解得，

∴．

故选．

（3）延长交于点．

由相交弦定理：，

∵，

∴，

∴