专题12.28 添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（题型梳理与方法分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题12.28添加辅助线构造三角形全等的十四种方法（方法梳理与方法分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。

【方法1】连接两点构造全等【方法2】作垂直构造全等；

【方法3】作平行线构造全等；【方法4】延长相交补全图形构造全等；

【方法5】构造双垂直等角全等；【方法6】倍长中线构造全等；

【方法7】截长补短构造全等；【方法8】旋转构造全等；

【方法9】连接两点构造全等拓展；【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展；

【方法11】作平行线构造全等拓展；【方法12】构造双垂直等角全等拓展；

【方法13】延长相交构造全等拓展；【方法14】截长补短构造全等拓展.

第二部分【题型梳理与方法点拨】

【方法1】连接两点构造全等；

【例1】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）已知，，求证：．

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明．即可得到结论．

解：如图，连接，

∵，，，

∴

∴．

【变式1】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在四边形中，，于点，且．若，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：连接，先证明得到，再证明得到，由于，则利用等线段代换得到，构建与全等是解决问题的关键．

解：连接，如图，

∵，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即．

故选：B．

【变式2】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为．

【答案】/度

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到．

解：∵在中，，，

∴，

由折叠的性质可得，，

∴，

∵是的中点，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【方法2】作垂直构造全等；

【例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图．

(1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分

(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么

(2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题

【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分．

（2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题．

本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

解：（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F，设与的交点为点G，

∵与的面积相等，

∴，

∴，

∵

∴．

∴，

∴直线平分．

（2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．

证明：过点B作于点E，过点D作于点F，设与的交点为点G，

∵直线平分，

∴，

∵

∴，

∴，

∴，

∴与的面积相等．

故逆命题是真命题．

【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（）

A．4 B．5 C．8 D．16

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积．

解：如图，过作于，

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为．

【答案】8

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解．

解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，

，，

，

，

，，

，

，

，