专题12.15 三角形全等几何模型（半角模型）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.docxVIP

专题12.15三角形全等几何模型（半角模型）

第一部分【知识点归纳】

【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。

【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。

【类型】如下图，有三类型半角模型

【解题思路】

半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：

（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；

（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；

（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；

（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】“等边三角形含半角”模型

【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：．

【变式】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．

（1）当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；

（2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

【题型2】“等腰三角形含半角”模型

【例2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．

（1）求证：．

（2）求证：平分．

【变式】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．

（1）如图1，如果___________度；

（2）如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）

【题型3】“正方形含半角”模型

【例3】如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．

【变式】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．

（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；

（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；

（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

第三部分【拓展延伸】

【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】??

如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．

【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．

【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．

【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．

（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．

（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

小明第（1）问的证明步骤是这样的：

延长到Q使，连接，

证出得到，；

再证，得到，证出，即．

请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．