《高等数学基础》课件——第四章 导数的应用（含课程思政元素）.pptxVIP

主讲人：xxx第四章导数的应用4.1.1洛必达法则（一）

引入

引入洛必达法则在处理一些特殊的函数极限时能够极大的简化计算过程，但是洛必达法则的研究者在学术界一直存在争议，有种说法称这个理论是由伯努利所提出，被洛必达发表，但其真实性有待考究。洛必达的声誉势必会受这一传言的影响。这个争议给我们提供了一个诚信问题的反面教材。所以我们做任何事都需要以诚信为本，不断在学习和生活中培养出良好的品德、品行。正所谓“薄德者，怀之不远也；才小者，见不能博也”亦是此理。

引入在运用极限的运算法则求函数的极限时，会遇到分子、分母同时趋于零或都趋于无穷大的情况，这样的极限可能存在也可能不存在，通常称这种极限为未定式（或未定型）。分别记为型、型。例如，

洛必达法则设函数与满足条件：（1）（或）；（2）在点的某去心邻域内可导，且；（3），则。注意：定理中把x→x0可换为x→x0+、x→x0-，或x→∞、x→+∞、x→-∞洛必达法则仍然成立。

洛必达法则例1求解当x→0时，分子分母的极限都为0，所以是型未定式，由洛必达法则得

洛必达法则例2解当x→0时，分子分母的极限都为0，所以是型未定式，由洛必达法则得求注1.若用了一次洛必达法则之后，仍是未定式，且仍满足洛必达法则中的条件，则可继续运用洛必达法则；2.用洛必达法则求极限时，可以与其他求极限的方法结合起来，以简化计算。

洛必达法则例3求解当x→0时，分子分母的极限都为无穷大，所以是型未定式，由洛必达法则得

洛必达法则例4解这是型未定式，如果分别对分子和分母求导得求这个极限不存在事实上，说明：不满足洛必达条件时，不代表原极限不存在。此时无法利用洛必达法则，必须利用其它方法讨论。

课堂小结洛必达法则可与其他求极限方法结合使用；030201不满足洛必达法则，不代表原极限不存在。洛必达法则必须针对型或型；

主讲人：xxx第四章导数的应用4.1.2洛必达法则（二）

引入解决思路：经过适当的变换，转化化为型和型未定式的极限。利用洛必达法则可解决型、型未定式的极限问题，除了这两种情形外，还可以来解决，等未定式的极限问题。

型的极限定义若乘积中有一个函数是无穷小，一个是无穷大，则称为型未定式。方法：对于型未定式的极限，一般可将其写成或，使其变成型或型未定式，再用洛必达法则求极限。

例1型的极限求解这是型未定式，先将函数变形为，再用洛必达法则

型的极限定义若函数和都是无穷大，则称为型未定式。方法：对于型未定式的极限，一般可通过通分，使其变成型或型未定式，再用洛必达法则求极限。

型的极限例2求解这是型未定式，通分得

小结与拓展善于抓住知识点之间的联系，对应马克思主义哲学观，抓住知识的本质，即抓住主要矛盾，掌握解决主要矛盾的方式方法，通过转化，次要矛盾也迎刃而解。可以通分化为型。型一般用取倒数的方法，化为型或型；

主讲人：xxx第四章导数的应用4.2函数的单调性

引入今天，我想和大家通过一个特殊的视角来审视2020年发生的新冠疫情，这是“新型冠状肺炎曲线”。通过这条曲线，我们可以看到疫情的发展趋势，也可以看到医护工作者们为了抗击疫情所做出的巨大贡献。

引入在研究疫情发展的过程中，我们不仅要观察它的发展趋势，还需要理解病毒传播的速度和范围。这就涉及到了我们今天要学习的主题——函数的单调性。函数的单调性可以描述函数在某区间上的变化趋势，对于疫情发展曲线的分析具有重要意义。

引入从右图看到，当函数单调递增时，曲线是上升的，此时其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是锐角，切线的斜率大于零，也就是说在相应点处的导数大于零；相反地，当函数单调递减时，曲线是下降的；其上每一点处的切线与ｘ轴正方向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，也就是说在相应点处的导数小于零。反过来，能否用导数的正负来判定函数的单调性呢?这个结论是肯定的。yx0αbayx0αba

定理设函数f(x)在闭区