二次函数存在性问题(菱形、平行四边形、矩形).docxVIP

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线〈|ly=?x2+4x，解得E|\2

线〈|ly=?x2+4x，解得E|\2,4)|．

今天讲解二次函数背景下的四边形存在性问题．

这里的四边形存在性问题，一般是以几种特殊的四边形为主，常考察的有平行四边形、菱形、矩形、正方形．当然，三角形的存在性问题和四边形的存在性问题是一样，如等腰三角形实际上和菱形是一致的，直角三角形和矩形是一样的，等腰直角三角形和正方形是一致的．

本文我们将重点讲解这类问题的求解逻辑以及注意事项，同时给大家理出一个比较通用的解题模板．

菱形

【例1】如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(?1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC上方的抛物线上点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；

(3)将抛物线y=ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．

(315)\24)第3小问为菱形存在性问题，以D、E、

(315)

\24)

第3小问为菱形存在性问题，以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形．四个点中，D，E是定点，F是平移后新抛物线对称轴上的动点，由于点F的横坐标是确定的，只有纵坐标在变化，我们可以称其为“半动点”，点G在平面内，暂时没有坐标限定，我们称其为“自由点”．一般来说，如果只需要点F的坐标，那么没有必要求解平移后抛物线的解析式．根据平移的性质，将原抛物线向右平移1个单位长度，那么原抛物线的对称轴也向右平移1个单位长度，因此新抛物线的对称轴为x=2，几F(2,m)．但由于此时E为量抛物线的交点，因此还是要把平移后的抛物线解析式求出来，根据“左加右减”，平移后的抛物线解析式为y=?(x?1)2+2(x?1)+3=?x2+4x，联立两抛物

(|y=?x2+2x+3(315)

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菱形的探究相对是比较简单的，对于这类探究性问题，一般都是先从确定的信息入手．菱形是以D、E、F、G为顶点，其中DE为定线段，那么存在的可能有DE是一条边，也可能是一条对对角线．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，这里我们结合等腰三角形的存在性问题一起分析．由于G是“自由点”，可以随机应变，因此讨论以D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形．同样，由于定线段DE可能是等腰三角形的一条腰，也可能是底边．

当DE为一条腰时，第一种情形是点D为顶点，即DE=DF，也即半动点F到D的距离和E到D的距离相等，因此点F在以点D为圆心，DE为半径的圆上，作出该圆，如图1所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴有两个交点F1，F2，结合图象可以判断，此时两个点应该都是满足的．那么再加上对应的“自由点”G，就是以DE为边菱形了．

当DE为一条腰时，另一种情形是点E为顶点，即ED=EF，也即半动点F到E的距离和D到E的距离相等，因此点F在以点E为圆心，ED为半径的圆上，作出该圆，如图2所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴同样有两个交点F1，F2，结合图象，此时的F3存在和DE共线的风险，因此

后续需要检验一下．根据坐标可以知道，xE=，通常像这类圆心可能为两个点中点的，一般

都要留个心眼，检验一下．此时再加上对应的“自由点”G，也是以DE为边菱形．

当DE为底边时，则F为顶点，即FD=FE，即F到线段DE的两端点的距离相等，可知此时F在线段DE的垂直平分线上，作出线段DE的垂直平分线，如图3所示，可知此时有一个交点F5．加

上对应的“自由点”G，此时便是以DE为对角线的菱形．

对于等腰三角形和菱形的存在性问题，如上图情形，我们称其为“两圆一线”法．

由于这类题一般不需要书写完整过程，因此在解题过程中，把准备工作做好，即对应的点坐标，解析式等先求出来，动点坐标假设好，再把定线段DE，半定线段DF、EF长度表示出来．根据上述分析，结合“两圆一线”分别使得三条线段两两相等建立方程，