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函数的奇偶性

定义

1、如果对于,都有，称是偶函数。

2、如果对于,都有，称是奇函数。

二、函数的奇偶性的几个性质

1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于对称；

2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内一个都必须成立；

3、可逆性：是偶函数；奇函数；

4、等价性：；

5、奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称；

6、奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇

7、一次函数为奇函数；二次函数为奇函数

8、奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同；偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反

应用一：奇偶性的理解

例1、下面四个结论中，正确命题的个数是（）

①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数当且仅当；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数一定是

A．1 B．2 C．3 D．4

例2、对于定义在R上的函数，下列说法正确的有。

f（x）为偶函数，则。

（2），则f（x）为偶函数。

（3）则f（x）不为偶函数。

（4），则f（x）不为奇函数。

（5）既是奇函数又是偶函数的函数一定是。

（6）在上是奇函数，则。

例3、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

1、若函数为奇函数或偶函数，则其定义域关于原点对称。（）

2、两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。（）

3、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。（）

4、任何一个定义在R上的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和（）

5、已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。（）

6、已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；（）

7、若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根（）

应用二：判断函数的奇偶性

例1、（1）（2）

（3）（4）=

（5）f(x)=（6）

f(x)=+（8）f(x)=

利用奇偶性求函数值

例1、（1）已知且，那么_________

（2）已知且，那么_________

（3）已知且，那么___________

四、利用奇偶性求参数的值

例1、若是奇函数，则_______

例2、已知函数，若为奇函数，则____________

例3、已知是奇函数，则＋=________

例4、已知函数在区间上是偶函数，则___________；___________

例5、是定义在上的偶函数，则

五、利用图像解题

例1、设奇函数的定义域为。若当时,的图像如图,则不等式（1）的解是

（2）的解是

（2）的解是

例2、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)0的x的取值范围是()

(?￥,2)B.(2,?￥)C.(?￥,?2)è(2,?￥)D.(?2,2)

六、利用奇偶性求解析式

例1、已知为上的奇函数，当时，，求的解析式？

例2、已知为偶函数，，求的解

析式？

例3、已知为奇函数，为偶函数，若求的表达式。

例4、已知函数为偶函数，为奇函数，它们的定义域均为，

且，求的解析式？

七、利用奇偶性比较大小

例1、已知奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么函数在区间上是（）

A.?????增函数且最小值为－5