2018新课标1卷数学三角求导最值1.pdfVIP

1（2018新课标1卷）．已知函数=2sin+sin2则的最小值是．

【详解】

［方法一］：【最优解】周期性应用＋导数法

=2sin+sin22π=2sin2π+sin22π2sin+sin2=

因为，所以=

，

2∈0,2π

即函数的一个周期为π，因此时，的最小值即为函数的最小值．

当∈0,π时，=2sin+sin2=2sin1+cos≥0，

′22

当∈π,2π时，因为(=2cos+2cos2=2cos+22cos−1=4cos+

2cos−2

′5

=2(cos+1)⋅(2cos−1)=0=π=ππ=02π=0

，令，解得或，由，，

3

53333

π=−，所以的最小值为−．

322

33

故答案为：−.

2

［方法二］：【通性通法】导数法

′22

(=2cos+2cos2=2cos+22cos−1=4cos+2cos−2

=2(cos+1)⋅(2cos−1)．

′1ππ

2−,2+

令(0，得cos，即在区间ππ(∈内单调递增；

233

′1π5π

2+,2+

令(0，得cos，即在区间ππ(∈内单调递减．

233

π33

2−

则[]min=π=−．

32

33

故答案为：−.

2

［方法三］：三元基本不等式的应用

因为=2sin+2sinos=2sin1+cos，

2223

sin1+cos(1+cos

所以(=4