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1（2018新课标1卷）．已知函数=2sin+sin2则的最小值是．
【详解】
［方法一］：【最优解】周期性应用＋导数法
=2sin+sin22π=2sin2π+sin22π2sin+sin2=
因为，所以=
，
2∈0,2π
即函数的一个周期为π，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当∈0,π时，=2sin+sin2=2sin1+cos≥0，
′22
当∈π,2π时，因为(=2cos+2cos2=2cos+22cos−1=4cos+
2cos−2
′5
=2(cos+1)⋅(2cos−1)=0=π=ππ=02π=0
，令，解得或，由，，
3
53333
π=−，所以的最小值为−．
322
33
故答案为：−.
2
［方法二］：【通性通法】导数法
′22
(=2cos+2cos2=2cos+22cos−1=4cos+2cos−2
=2(cos+1)⋅(2cos−1)．
′1ππ
2−,2+
令(0，得cos，即在区间ππ(∈内单调递增；
233
′1π5π
2+,2+
令(0，得cos，即在区间ππ(∈内单调递减．
233
π33
2−
则[]min=π=−．
32
33
故答案为：−.
2
［方法三］：三元基本不等式的应用
因为=2sin+2sinos=2sin1+cos，
2223
sin1+cos(1+cos
所以(=4
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