北京市北京交通大学附属中学2025届高三下学期2月开学诊断练习数学试题.docxVIP

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

北京交大附中2024—2025学年第二学期2月开学诊断练习

高三数学

命题人：于伟东张妍审题人：于伟东张妍

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

2.已知，，，则（）

A. B.

C. D.

3.若，则（）

A.1 B.2 C. D.

4.设、，，且，则（）

A B.

C. D.

5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（）

A. B. C. D.

6.已知，为圆（）上两个不同的点（为圆心），且满足，则

A B. C. D.

7.设，若为函数的极大值点，则（）

A. B. C. D.

8.已知是无穷等比数列，则“存在，使得，”是“对任意，均有”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布.在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法正确的个数是（）

①双纽线既有对称轴，也有对称中心；

②；

③双纽线上满足的点只有1个；

④的最大值为.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.设，则________．

11.已知双曲线的渐近线方程为，则__________.

12.设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为______．

13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是_____.

14.如果函数满足对任意、，有，则称为优函数.给出下列四个结论：

①为优函数；

②若优函数，则；

③若为优函数，则在上单调递增；

④若在上单调递减，则优函数.

其中所有正确结论的序号是__________.

15.已知分别为内角对边，满足，点为直线BC上一动点.

（1）求A；

（2）已知，从①；②；③这三个条件中任选一个，使得存在且唯一确定，求线段长度的最小值.

16.如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成的角为，求长；

（3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.

17.人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了、两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案．

方案一：将首音乐随机分配给、两个小组识别．每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；

方案二：对同一首音乐，、两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．

（1）若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占．

（i）用频率估计概率，两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？

（ii）利用（i）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：

（2）若方案一的测试结果如下：

音乐类别

小组

小组

测试音乐数量

正确识别比例

测试音乐数量

正确识别比例

古典音乐

流行音乐

民族音乐

在小组、小组识别的歌曲中各任选首，记、分别为小组、小组正确识别的数量，试比较、的大小（直接写出结果即可）．

18.已知椭圆的左顶点为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程及其离心率；

（2）设过点的直线交于、两点，过点且平行于y轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.

19.设函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数的零点的个数.

20.已知数列，记集合.

（1）若数列为，数列为，分别写出集合；

（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；

（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

北京交大附中2024—2025学年第二学期2月开学诊断练习

高三数学

命题人：于伟东张妍审题人：于伟东张妍

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答