重难点08 立体几何中的外接球与内切球（9题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（北京专用）（解析版） .pdf

重难点08立体几何中的外接球与内切球

明考情•知方向

三年考情分析2025年考向预测

该难点以选择题、填空题为主，重点考查几何体的外接球可能延续多面体外接球计算，重点关注组合体（如直

半径或表面积计算高频考点包括直棱柱外接球（需确定三棱柱与球体的结合）或动态几何问题，需强化典型

球心位置及勾股定理X正四面体外接球（通过补形为正方题型训练，提升空间思维与计算效率

体求半径1圆锥/圆柱模型（结合体积公式推导）

重难点题型解读

题型1（长）方体,柱体的外接球

①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即R=9疽+V+c2

②柱体模型：夕接球半径公式：R=^J+r2（h为柱体的高，〃为底面（外接）圆的半径）

破花M蒿MET羸葫采S竦8夏棱长为1的正方体的外接球，则球ol浦诲榆沛诙:

【答案】|

【详解】

如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球,

即球。是棱长为1的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球，

因为正方体棱长为1,则体积为1,

可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积，

即球0的内接正四面体体积为1-4x［（x!xlxlxlj=!.

故答案为：

2.（2022-北京•三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20兀，则该四

棱柱的高为（）

A.右B.2C.3a/2D.应

【答案】C

【详解】设球的半径为矿贝|4威2二20兀，解得我之二

设四棱柱的高为/,则/z2+i+i=4R2,解得h=3皿

故选：C

3.（202届高三下学期天津市三校缓适性交流练习数学试题）直三棱柱的各条棱长均为2,D

为棱％;中点，则点。到直三棱柱的外接球球心的距离是（）

A.匝B.匝C.巨D.至

3333

【答案】B

【详解】由题意，分别取上下底面正三角形的中心为E,F,取时的中点。，连接OQ,如下图：

易知点。为三棱柱的外接球球心，且平面,

因为AOu平面AKG，所以EF1A.D,

在正△中，eD=/x2=巨,易^OE^-EF^-AA.^,

32322

在RtVOED中，0D=y/0E2+ED2

3

故选：B.

4.（2022・陕西西安•模拟预测）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2,4,4,则该长方体外接球的表面

积为（）

A.9B.18mC.36D.48

【答案】C

【详解】长方体外接球直径27?=/?+。2+。2=02+42+42=6n7?=3,所以该长方体外接球的表面积

S=4ttR2=4^.32=36万

故选：C.

.（202届高三下学期东北三省部分高中联盟联合调研模拟数学试题）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国

彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空）,

其中模型上、下层的底面周长均为120cm,高为cm.现在其内部放入一个体积为36;rcm3的球形灯，且球形

灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为

【答案】（1200+288后）cn?

【详解】依题意，上下两层是底面周长120cm,高为cm的正六棱柱，

其侧面积为^=2x120x=1200cm2,

当球形灯球心到各面的距离等于9cm时，中层正六棱柱的高为/i=2x9-2x=8cm,

由球心到侧面距离为9,得中层正六棱柱底面边长为2x9x生=6嫔m,