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圆中的重要模型之圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们

推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要

知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到

对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的

适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几

何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考

察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，

还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活

学活用！

模型1.相交弦模型

模型2.双割线模型

模型3.切割线模型

模型4.弦切角模型

模型5.托勒密定理模型

模型1.相交弦模型

相交弦定理(IntersectingChordsTheorem)，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相

等。

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

EC

EB

EA

ED

结论：△CAE～△BDE?

=

?EC?ED=EB?EA。

?

?

?

?

证明：∵BC=BC，∴∠A=∠D，∵AD=AD，∴∠B=∠C，

EC

EB

EA

ED

∴△CAE～△BDE，∴

=

，∴EC?ED=EB?EA。

1.(2023·浙江绍兴·模拟预测)四边形ABDC内接于圆，对角线交点为E，AB=AC=4,AE=2，若BE、

CE都是整数，则BE的值为

．

2.(23-24九年级上·山西朔州·期末)阅读与思考

九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理

(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完

成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

已知：如图1，O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP?BP=CP?DP．

证明：如图1，连接AC，BD．

∵∠C=∠B，∠A=∠D．∴△APC∽△DPB，(根据

)

AP

DP

∴

=@，∴AP?BP=CP?DP，

∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：

；@：

．

(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=3cm，OP

=15cm，求⊙O的半径．

3.(2023春·广东九年级期中)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，BC交AD于点F，且∠BAE=

∠C．

(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求证：AF?DF=CF?BF；(3)若AE∥BC，BC=8，AB=25，求

⊙O的半径．

模型2.双割线模型

割线定理(SecantTheorem)，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。

EC

CH

CG

CF

结论：△CEG～△CHF?

=

?EC?FC=GC?HC

证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴∠FHC+∠FEG=180°，∵∠FHC+∠GEC=180°，∴

∠FHC=∠GEC

3

EC

CH

CG

CF

又∠C=∠C，∴△CEG～△CHF，∴

=

，∴EC?FC=GC?HC

4.(2023·江苏无锡·九年级阶段练习)如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，

则PA的长为

．

5.(2023·湖北九年级月考)如图，割线PAB交⊙O于A、B两点，且PA:AB=2:1，PO交⊙O于C，PC

=3，OC=2，则PA的长为(

)

A