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空间向量与立体几何:动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题
1.动点的表示方法:高频考点分析
(1)若动点所在直线与坐标轴平行或重合,则直接设动点坐标.
①若动点P所在直线与x轴平行或重合,则动点P的坐标可设为(x,m,n),其中m、n为常数,x为变量.
②若动点P所在直线与x轴平行或重合,则动点P的坐标可设为(m,y,n),其中m、n为常数,y为变量.
③若动点P所在直线与x轴平行或重合,则动点P的坐标可设为(m,n,z),其中m、n为常数,z为变量.
(2)若动点所在直线与坐标轴不平行,已知点Ax,y,z、Bx,y,z,动点Px,y,z在直线AB上运动,
111222333
则AB⎳AP,所以AP=λAB,由此可表示出P点坐标或直接利用AP表示出目标向量.
2.边长缺失问题
(1)设所求边长为t;
(2)将t代入求直线向量与平面的法向量;
(3)翻译题目所给条件,得到关于t的方程,求解的t.
※题目所给附加条件可以是位置关系、空间角度大小或空间距离等.
3.最值与范围问题
(1)明晰是动点还是边长缺失引起的最值问题,设出动点或边长;
(2)利用设出的动点或边长,表示直线向量与平面的法向量;
(3)翻译题目所求的几何量,进而根据解析式的形式选择恰当的方法求最值.
4.代数法求最值的常见方法
(1)单调性法(2)二次函数法(3)三角函数法(4)换元法
(5)基本不等式法(6)分离常数法(7)判别式法
1
真题速递
(20241.·新课标Ⅰ卷·高考真题)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,
AB=3.
(1)若AD⊥PB,证明:AD⎳平面PBC;
42
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.
7
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【详解】(1)(1)因为PA⊥平面ABCD,而AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,
又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA⊂平面PAB,所以AD⊥平面PAB,
而AB⊂平面PAB,所以AD⊥AB.
222
因为BC+AB=AC,所以BC⊥AB,根据平面知识可知AD⎳BC,
又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD⎳平面PBC.
(2)如图所示,过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,
因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,
所以DE⊥平面PAC,又EF⊥CP,所以CP⊥平面DEF,
根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角,
42
即sin∠DFE=,即tan∠DFE=6.
7
2x4-x2
因为AD⊥DC,设AD=x,则CD=4-x,由等面积法可得,DE=,
2
2222
2x4-x4-x4-x
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