空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题—2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义（解析版）.pdf

空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题

1.动点的表示方法：高频考点分析

(1)若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标.

①若动点P所在直线与x轴平行或重合，则动点P的坐标可设为(x,m,n)，其中m、n为常数，x为变量.

②若动点P所在直线与x轴平行或重合，则动点P的坐标可设为(m,y,n)，其中m、n为常数，y为变量.

③若动点P所在直线与x轴平行或重合，则动点P的坐标可设为(m,n,z)，其中m、n为常数，z为变量.

(2)若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点Ax,y,z、Bx,y,z，动点Px,y,z在直线AB上运动，

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则AB⎳AP,所以AP=λAB，由此可表示出P点坐标或直接利用AP表示出目标向量.

2.边长缺失问题

(1)设所求边长为t；

(2)将t代入求直线向量与平面的法向量；

(3)翻译题目所给条件，得到关于t的方程，求解的t.

※题目所给附加条件可以是位置关系、空间角度大小或空间距离等.

3.最值与范围问题

(1)明晰是动点还是边长缺失引起的最值问题，设出动点或边长；

(2)利用设出的动点或边长，表示直线向量与平面的法向量；

(3)翻译题目所求的几何量，进而根据解析式的形式选择恰当的方法求最值.

4.代数法求最值的常见方法

(1)单调性法(2)二次函数法(3)三角函数法(4)换元法

(5)基本不等式法(6)分离常数法(7)判别式法

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真题速递

(20241.·新课标Ⅰ卷·高考真题)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,

AB=3．

(1)若AD⊥PB，证明：AD⎳平面PBC；

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(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD．

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【答案】(1)证明见解析

(2)3

【详解】(1)(1)因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB,PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.

222

因为BC+AB=AC，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD⎳BC，

又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD⎳平面PBC．

(2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，

因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD=AC，

所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，

根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，

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即sin∠DFE=，即tan∠DFE=6．

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2x4-x2

因为AD⊥DC，设AD=x，则CD=4-x，由等面积法可得，DE=，

2

2222

2x4-x4-x4-x