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含绝对值的函数问题处理

1.（2005年江苏卷）已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|.

(=1\*ROMANI)当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合；

(=2\*ROMANII)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

解析：(=1\*ROMANI)若a=2,则有：,

=1\*GB3①当x≥2时，有x2(x-2)=x,解得x=0或x2-2x-1=0,解得：，

取；=2\*GB3②当x2时，有．

综上所述，当ａ=2时能使ｆ(ｘ)=ｘ成立的ｘ的集合为｛0，1，｝

(=2\*ROMANII)对函数式进行分解得：

=1\*GB3①当x≥a时，设f1(x)=x2(x-a),则

当a0时,函数f(x)在区间,b.当a0时,函数f(x)在区间.

=2\*GB3②当xa时，设f2(x)=-x2(x-a),则

a.当a0时,函数f(x)在区间,b.当a0时,函数f(x)在区间.

由于所求区间为[1,2],故a按所求区间进行讨论:

=1\*GB3①若a≤1,则取f1(x)图象在xa部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1时取最小值,即m=f1(1)=1-a;

=2\*GB3②若1a2,因f(a)=0,当xa时,f1(x)从0单调递增;当xa时,函数f(x)在区间[1,a]为递减或先增后减至0,故m=f(a)=0;

=3\*GB3③若3a≥2,则函数f2(x)在区间为先增后减,当x=时取最大值,则最小值为m1=f2(1)=-1+a或m2=f2(2)=-8+4a,下面讨论m1与m2的大小问题:

若2≤a,则m1m2,最小值为m2=-8+4a;b.若≤a3,则则m2m1,最小值为m1=-1+a.

=4\*GB3④若a≥3,则函数f2(x)在区间为递增,则当x=1时取最小值,即m=f2(1)=-1+a.

综上所述,函数f(x)在区间[1,2]的最小值

m=,(其图象可通过几何画板演示得到).

2.(全品第二轮专题)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|.

（=1\*ROMANI）若|f(x)|=g(x)有两个不同的解，求a的值；

（=2\*ROMANII）若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．

解析：（=1\*ROMANI）方法一：(分解因式，避免讨论)由|f(x)|=g(x)有：｜x-1|(|x+1|-a)=0,显然，已是该方程的根，从而欲使原方程有两个不同的解，即要求方程，有且仅有一个不等于1的解或两个不同的解且有一个为１，结合图形得a=0或a=2.

方法二：（分类讨论）由于，当x≥1时，有x2-1=a(x-1),解得x=1或x=a-1;当-1x1时，有x2-1=a(x-1),解得x=1或x=a-1,取x=a-1;当x≤-1时，有x2-1=-a(x-1),解得x=1或x=-a-1,取x=-a-1.=1\*GB3①若a=0，则方程有两根1与-1；=2\*GB3②若2≥a0，则-1a-11,-a-1-1,此时方程有三个根1,a-1,-a-1,则a-1,-a-1必有一个根为1,经检验只能a-1=1,此时a=2;=3\*GB3③若a2，方程的根只能为1与a-1,-a-1则找不到符合条件的a;=4\*GB3④若a0,方程只有一个根1.

（=2\*ROMANII）方法一：（分离变量法）由f(x)≥g(x)得：x2-1≥a|x-1|?=1\*GB3①当x=1时恒成立，此时ａ∈R；=2\*GB3②当x≠1时，有，设φ（x）=,因为当x1时，φ（x）2;当x1时，φ（x）-2,所以φ(x)-2,故此时ａ≤－２.综合=1\*GB3①=2\*GB3②得ａ≤－２.

方法二：（函数方程思想）略．

类似题：已知函数，.

(1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.

解答:（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得.

（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时；

②当时，（*）可变形为，令

因为当时，，当时，，

所以，故此时.

综合①②，得所求实数的取值范围是.

（3）因为=

当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

且，经比较，此时在上的最大值为.

当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，