北京市延庆区2025届高三下学期2月一模试题 数学 含解析.docxVIP

2025北京延庆高三一模

数学

2025.02

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知，为虚数单位，若为实数，则（）

A. B.1 C. D.4

3.已知向量，，，若，则（）

A. B. C.0 D.1

4.某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（）

A. B. C. D.

5.设x，，且，则（）

A. B. C. D.

6.延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）

A.为奇函数 B.的最大值为1

C.在上单调递增 D.方程有2个实数解

7.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（）

A.4 B.5 C.6 D.7

9.已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（）

A. B. C. D.

10.已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（）

A.2 B.4 C.6 D.8

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.的展开式中，的系数为________.

12.已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为________.

13.已知是第四象限角且，，则的值为________.

14.数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________.

15.已知函数，给出下列四个结论：

①，使得关于直线对称；

②，使得存在最小值；

③，在上单调递减；

④，使得有三个零点；

其中所有正确的结论的序号是________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.

（1）求证：；

（2）若，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值.

17.在中，，.

（1）求b；

（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积.

条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18.在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.

时间

地点

周一

周二

周三

周四

周五

周六

周日

康庄镇刁千营村

√

√

康庄镇榆林堡村

√

√

康庄镇小丰营村

√

√

延庆镇付余屯村

√

√

延庆镇东小河屯村

√

√

√

√

√

√

√

香营乡屈家窑村

√

旧县镇米粮屯村

√

√

旧县镇东羊坊村

√

永宁镇古城北街

√

√

√

√

√

√

√

（1）若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；

（2）若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；

（3）从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）

19.已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

20.已知函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若，求的单调区间；

（3）若，且，证明：.

21.数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有

（1）用列举法表示集合；