湖南省长沙市长沙二十一中高考数学一模试卷（含答案）.docxVIP

2025年

2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若(1+i)z=3+i(i为虚数单位)，则z?z?=

A.?2 B.4 C.?2i D.2i

2.设数列{an}的前n项和为Sn，若命题p：“数列{an}为等差数列”，命题q：“对任意的k∈N?，Sk，S

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.函数y=ex?e

A. B.

C. D.

4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)及圆O：x2+y2=

A.33

B.12

C.3

5.若函数f(x)=(x+a)(x+2)2在x=?1处有极小值，则实数a的值为(????)

A.?1 B.?12 C.12

6.若双曲线C1：x2a2?y

A.324 B.433

7.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f(?x)+3ex，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(????)

A.y=3x+3 B.y=3x?3 C.y=x+3 D.y=x?3

8.已知sin(π3?α)+sinα=1

A.79 B.?79 C.8

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若(1+2x)2024=a

A.a0=2024

B.a0+a1

10.已知一组样本数据：?1，5，a，b.其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是(????)

A.序列不可能既是等比数列又是等差数列

B.若成等比数列，a和b有3组可能取值

C.若成等差数列，a和b有3组可能取值

D.若该数据平均数是1，则方差最小值为21

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC

A.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ//平面MBN

C.三棱锥P?MBN的体积为13

D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共

12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2π3，a=6，则△ABC的面积的最大值为______．

13.设函数f(x)=ax+xx?4(x4)，若a是从1，2，3，4四个数中任取一个，b是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f(x)b

14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2B+sin2C?sin2A+sinBsinC=0，则A=______；若b=2，c=1，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若cosB=33，求sin(2B?A)的值；

(3)若bcosB=2a3，点D在边AB上，

16.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(1,32)，且焦距与长半轴相等．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过右焦点F2，且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接AF2交椭圆C于点B．

(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；

(ii)

17.(本小题15分)

如图，在四面体A?BCD中，AD⊥面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点.点Q在线段AC上BC⊥CD.且BC=CD=2．

(1)若AQ=3QC.求证：PQ//平面BCD；

(2)二面角A?BC?D为45°，求二面角A?BC?M的余弦值；

(3)若三棱锥A?BCM的体积为1，求三棱锥A?BCD外接球的体积．

18.(本小题17分)

某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

索赔次数

0

1

2

3

4

保单份数

800

100

60

30

10

已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．

(Ⅰ)从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；

(Ⅱ)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．

(i)记X?1为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求X?1的值；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值X?2

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=eaxlnx，其中a0．

(1)若y=f(x)