北京市北京师范大学附属实验中学顺义学校2025届高三下学期开学摸底考试数学试题.docxVIP

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北京师范大学附属实验中学顺义学校

2025届高三年级第二学期开学摸底考试

高三年级数学

试卷说明：

1．本次考试时间120分钟，满分150分；

2．本试卷共6页，计三道大题，21道小题，答题纸共4页；

3．请将全部答案答在答题纸上．

4．答题时不得使用任何涂改工具．

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知全集，集合，则（）

A. B.

C. D.

2.在复平面内，复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（）

A. B. C. D.

4.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（）

A. B. C. D.

5.已知直线与圆交于，两点，则（）

A. B.2 C.3 D.

6.已知等差数列的前项和为，，则（）

A. B. C. D.

7.设函数的定义域为，则对内的任意实数，有（）

A. B.

C. D.

8.“”是“函数在上单调递减”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.我国有着丰富悠久印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装饰物来使用.图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的半径为（）

A. B. C. D.

10.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（）

A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形

B.存在点，使得直线与平面垂直

C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等

D.点到平面的距离不超过

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）

12.双曲线的渐近线方程是__________；设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则__________．

13.已知向量，，则______，最小值为______．

14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.

15.已知曲线.给出下列四个结论：

①曲线关于直线对称；

②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；

③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；

④曲线所围成区域的面积大于.

其中，所有正确结论的序号为_________.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16.在中，为钝角，．

（1）求；

（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．

条件①：；

条件②：；

条件③：的面积为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面．

（1）求证：是棱的中点；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

18.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：

使用AI大模型的种数

性别

0

1

2

3

4

男

4

27

23

16

10

女

6

48

27

24

15

在上述样本所有使用3种AI大模型40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：

AI大模型种类

A

B

C

D

人次

32

30

30

28

用频率估计概率.

（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）概率；

（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；

（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）

19.已知椭圆的左顶点为，离心率.

（1）求的标准方程；

（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.

20.设函数，曲线在点处的切线方程为．