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第五章抛物型方程的有限差分法

51最简差分格式

52稳定性与收敛性

s3Fourier方法

54变系数抛物方程

55分数步长法

椭圆型方程描写的状态如温度、电位)不

随时间改变称为驻定问题。瓖我们讨论与时间

有关的非驻定问题:物型方程(本章)和

型方程(下一章)。

§1最简差分格式

考虑一维热传导方程

aax2+f(x),0≤t≤T,(1.)

02

其中是正常数,f(x)是给定的连续函数

可将(11)的定解问题分为两类:

第一、初值问题(也称auchy问题):求具有所需冫

数偏微商的函数(x,y),满足方程11)和初始条件:

a2=a+f(x,0t≤T(1.2)

(x,0)=q(x),-0x+

第二、初边值问题也称混合问题具有所需次数偏

商的函数(x,y),满足方程11)、初始条件和边值条件

aua

=a

+f(x),0t≤T

at

u(x,0)=gp(x),0xl

(1.3)1

u(0,t)=(,t)=0,0≤t≤T(1.3)2

假定f(x)和q(x)在相应区域光滑,并胜x=0,满足

相容条件,使上述问题唯一充分光滑的解。

现在考虑边值问题1),(13)的差分逼近。取空间

步饮=和时间步妆=了,其中N,M都是自然数。月

两族平行直线=x=h(=0,1,A,N)和=tk=k(k=

01,A,M将矩形域={0≤x≤10≤t≤7份割成

矩形网格网格节点为x,k

以G表示网格内点集合,于开矩形的网点集合

G表示所有位于闭矩形的网点集合In=Gn-G1是网

点界点集合

其次,用表示定义在网点,y)的函数0≤j≤N,

0≤k≤M用适当的差分代替方程1中相应的偏微商

便得到以下几种最简差格式

)向前差分格式,即

Ta+12u+f

he

+∫(14)1

f;=∫(x,)

u=P=(x)o=uN=O,

(1.4)2

其中=1,2,A,N-1,k=1,2,A,M-1.

以=a2表示网比。将142改写成便于计算的形式

使得第层值(上标为)在等式右边,第+1层值

在等式左边,则得

lA+1=m+(1-2rn4+n1+d(1.4

aua2u

记Lu

at

k+1

h

显然截断误差

R;(u)=lhu(x;stk)-ILu

=-412x-21(ax2)+0x+h)=0x+h.5

(一)向后差分格式,即

tau-2uiltuck+

+∫;(1.6)1

2

n=g;=gp(x,),l0=uN=0,

(16)

其中=1,2,A,N-1,k=1,2,A,M-1

将(16)1改写成便于计算的形式

r++(1-2ru4+1-m+=u2+,(16

k+1

k+1

2u:t+u

记

+1

h

显然截断误差

R(u=Lu(x,t,)-[Lul

a2i

1222y+0x2+h

2)=0x+h2)(17)

(三)六点对称格式Crank-Nicolson格式)将向前差分

格式和向后差分格式作算术平均,即得六点对称格式:

2n.+1+u

2n.+

2

+J,(18)

l.=

p,=p(x,),u

L

0

(1.8)2

将(18)1改写为

k+1

+(1+r)u+

2

2-1

21+(1-rl4+r

+f,(1.8)1

令

uauj+1-2i

k+1+Ui-1

2u+u

h

h

将截断误差

R(u)=Lu(x,t)-[Lul

于(x,t,)c,=(k+1)展开,则得

R()=0(x2+h2).(1.9)

(四)Richardson格式,即

u21-2n+u

+1

=

2

+∫,(1.10)

或u;+1=2r(a

n2+u,)+

2

1+2可、(1.10