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;;;2.说明三角形内角和定理的思路
思路一:利用“两直线平行,内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角,如图10.2-1①②所示.
思路二:利用“两直线平行,内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角,如图10.2-2①②所示.;特别解读
1.三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.
2.说明三角形内角和定理,主要是以平行线作为桥梁,将三个内角“转移”,集中成一个角说明这个角是180°或集中成两个角,说明这两个角的和是180°即可.;?;解:设∠B=∠C=x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴40+x+x=180,
解得x=70.
∴∠B=∠C=70°.;?;?;方法点拨求三角形内角的度数的方法:
1.若已知两个角的度数,求第三个角的度数,直接利用三角形内角和定理求解.
2.若已知一个角的度数及另两个角度数之间的数量关系,或不知道任何一个角的度数,只知道三个角度数之间的数量关系,一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程(或方程组)求解.;一个零件的形状如图10.2-3,按规定∠A应等于90°,∠ABD,∠ACD应分别是34°和18°.李叔叔量得∠BDC=146°,请你帮李叔叔判断这个零件是否合格,并说明理由.;解题秘方:建立三角形的模型,利用三角形内角和定理求出角度,再用三角形内角和定理进行验证.;解:这个零件不合格.理由如下:
如图10.2-3,连接BC.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∵∠A=90°,∠ACD=18°,∠ABD=34°,
∴∠DCB+∠DBC=38°.
在△DCB中,∠BDC+∠DCB+∠DBC=146°+38°=
184°≠180°,∴这个零件不合格.;解法提醒
“三角形内角和等于180°”是任何一个三角形都具备的性质.若某个三角形三个内角的和不等于180°,则说明该三角形不存在.;;2.三角形内角和定理的推论(外角的性质)
推论1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论2:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.;如图10.2-4,AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,求∠ACD的度数.;解:∵AD是∠CAE的平分线,∠DAE=60°,
∴∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°.
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95°.;另解
∵∠DAE是△ABD的一个外角,∠DAE=60°,∠B=35°,
∴∠D=∠DAE-∠B=60°-35°=25°.
∵AD是∠CAE的平分线,
∴∠CAD=∠DAE=60°.
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠D=180°-60°-25°=95°.;;?;特别提醒
任意一个三角形,最多有三个锐角,至少有两个锐角,最多有一个钝角,最多有一个直角.;根据以下条件判断△ABC是锐角三角形、直角三角
形,还是钝角三角形?
(1)∠A+∠C=∠B;(2)∠A=∠B=40°.;解:(1)∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∠A+∠C=∠B,∴∠B+∠B=180°,
∴∠B=90°,即∠B是直角,∴△ABC是直角三角形.
(2)∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∠A=∠B=40°,∴40°+40°+∠C=180°,
∴∠C=100°,即∠C是钝角,
∴△ABC是钝角三角形.;方法技巧
按内角的大小判断三角形的形状:
按内角的大小判断三角形的形状时,要看三角形中最大的角,如果最大的角是锐角,那么这个三角形是锐角三角形;如果最大的角是直角,那么这个三角形是直角三角形;如果最大的角是钝角,那么这个三角形是钝角三角形.;
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