2025届高三四月数学每周好题精选（第二周）.docx

四月数学每周好题精选（第二周）

1.已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设集合，，则()

A. B. C. D.

3.某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，则这组数据的第75百分位数是()

A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2

4.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为()

A. B. C. D.

5.已知，函数的最小正周期为T，若，且的图象关于直线对称，则()

A. B. C. D.

6.已知双曲线，过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则E的离心率为()

A. B. C.2 D.

7.设符号函数，已知函数，则()

A.为的最小正周期

B.图象的对称轴方程为

C.在上单调递增

D.函数在上有4个零点

8.已知数列满足，.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为()

A. B. C. D.

9.（多选）若关于的不等式的解集是，则()

A. B. C. D.

10.（多选）已知函数，则()

A.有两个零点 B.在上是增函数

C.有极小值 D.若，

11.（多选）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则()

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D.点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

12.（多选）在棱长为2的正方体中，P为面内以为直径的半圆上的动点，则()

A.的最大值为

B.与平面所成角的最大值的正弦值为

C.的最小值为-2

D.二面角的最小值的正切值为

13.如图，直线经过抛物线的焦点F，点A（位于第一象限）在C上，点B（位于第四象限）在C的准线上，且，则直线的斜率为________.

14.甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为________.

15.若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为__________.

16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

(1)求证：；

(2)若是锐角三角形，且角A的平分线交边于D，且，求边b的取值范围.

17.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次.答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.

(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.

①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：

②若，求i的最小值.

18.如图，四边形为矩形，，且二面角为直二面角.

(1)求证：平面平面；

(2)设F是的中点，，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围

答案以及解析

1.答案：C

解析：由，则，

所以复数z在复平面内所对应的点为位于第三象限.故选：C

2.答案：A

解析：由，所以；由，所以.所以.故选：A

3.答案：D

解析：将决赛中12名参赛选手的得分从小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的平均数，即.故选：D.

4.答案：A

解析：设与的夹角为，在上的投影向量为，所以，所以，，所以为钝角，且.故选：A

5.答案：A

解析：由，得，解得，因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，则，故选：A.

6.答案：C

解析：双曲线的渐近线方程为，过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，则，所以在中，，，，所以，则，即，

所以，即，所以，故，故选：C.

7.答案：D

解析：由题意，画出函数的部分图象，如图所示：

根据图象可知为的最小正周期，故A错误；

由图象知图象的对称轴方程为，故B错误；

在上先单调递增，再单调递减，故C错误；