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全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档:第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1.设a=7-1,

A.24.B.25.C.47+10.D.

【答】A.

由a=7-1,得a2=8

3

2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则

A.72.B.10.C.105.D.7

【答】C.

延长CA至D,使AD=AB,则∠D=∠A12BD∠=,所以△CBD～△DAB,所以BDAB=CDBD,故BD

3.用x表示不大于x的最大整数,则方程x2-2

A.1,B.2.C.3.D.4.

【答】C.

由方程得x2-3=2x,而x≤x,所以x2-3≤2x,即x

当x=-1时,x2=1

当x=0时,x2=

当x=1时,x2=

当x=2时,x2=7

当x=3时,x2=9

因此,原方程共有3个解.

4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、?B

A.314.B.37.C.12

【答】B.

不妨设正方形的面积为1.容易知道,以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形,它们可以分为两类:

(1)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一,这样的三角形有4个,它们的面积都为12

(2)等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O,这样的三角形也有4个,它们的面积都为14

所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4+4=8个三角形,从中任意取出两个,

要使取出的两个三角形的面积相等,则只能都取自第(1)类或都取自第(2)类,不同的取法有12种.因此,所求的概率为1228

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线

A.63.B.23.C.13

【答】D.

设BC的中点为O,连接OE、CE.

因为AB⊥BC,AE⊥OE,所以A、?B、O、E四点共圆,故∠BAE=∠COE.又AB=AE,OC=OE,所以

又CE⊥BE,所以BC=BE2+CE2=

6.设n是大于1909的正整数,使得nn为完全平方数的

A.3.B.4.C.5.D.6.

【答】B.

设2009-n=a,则n-1002009-n=100-d00a=1,它为完全平方数

验证易知,只有当m=1,2,3,7时,上式才可能成立

因此,使得nn为完全平方数的n共有

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x2-2x+t-1

【答】-3.

因为a,b是关于x的一元二次方程x2-

Δ=

a2

当t=1时,a2

2.设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,

【答】2mn

设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC,所以ADAB

又因为△BDF∽△BAC,所以

两式相加得SΔADES+SΔBDFS=ADAB

所以四边形DECF的面积为m+

3.如果实数a,b满足条件a2+b2

【答】-1.

因为a2+b2=1,所以-

1-2a+b=b2-a2-

从而1-2a+b≥0,因此1-2a+b=-2a2-2a,即1+

把b=-1代入1+b=-2a2计算可得

4.已知a,b是正整数,且满足215a+15b是整数,则这样的有序数对

【答】7.

设15a+15b=k2(k为正整数),则15b

令15a=q2p2,其中p,q均为正整数且p,q=1.从而aq2=

同理可得15b=1m(其中m为正整数),

又m≥1,p≥1,