广东省普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷（原卷版）.docx

2025届普通高中毕业生久洵杯一月调研测试

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名?考生号?考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准便用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内，对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.已知向量满足，则（）

A.2 B. C. D.3

3.设集合，则中所有元素之和为（）

A.3 B.8 C.9 D.12

4.已知，设命题，命题，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.若函数关于直线对称，则（）

A.1 B.3 C.5 D.7

6.已知圆柱与圆锥体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（）

A B. C. D.

7若，则（）

A. B. C. D.

8.设椭圆右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（）

A. B.

C. D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知正四面体的棱长为，则（）

A.

B.与的距离为

C.二面角的正弦值为

D.正四面体的体积为

10.设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（）

A.

B.

C.若，则

D.若，则

11.已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（）

A.

B.当时，为奇函数

C.或1是存在的充要条件

D.当时，没有最值

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线在点处的切线方程为__________.

13.若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为__________.

14.设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为__________.（用含的代数式表示）附参考公式：

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱中，.

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，求平面与平面夹角的正弦值.

16.设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点.

（1）求的方程；

（2）已知点，直线交于点.若，求的面积.

17.记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点.

（1）求；

（2）证明：；

（3）若，求.

18.已知函数，函数.

（1）讨论和的单调性；

（2）记函数，若为减函数，且存在，使得，求的取值范围.

19.对于一个单调递增的正整数数列，若对于任意不小于2的正整数不能表示为中若干不同项之和，则称为“好数列”.

（1）若数列满足，记集合，中元素由小到大排列得到数列，列举的前五项，并判断是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；

（2）已知为“好数列”，对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则记，设为的前项和.

（i）证明：；

（ii）证明：对任意的正整数，有.