振动力学(梁的横向振动).pptxVIP

振动力学------弹性体的振动

梁的横向振动仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。

1、运动微分方程在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。

取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。则微段梁dx沿z方向的运动方程为：

利用材料力学中的关系得到梁的弯曲振动方程02即01

和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。01梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。02固定端：挠度和转角为0，即03边界条件

01简支端：挠度和弯矩为0，即02自由端：弯矩和剪力为0，即其它边界条件用类似的方法给出。

其中令振动方程中的干扰力为0，得到对于均匀梁，振动方程为2、梁弯曲自由振动的解

01代入方程得到02写为假定有分离变量形式的解存在，令

（称为特征方程）其中则有010203

方程的通解为由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。

以及解：边界条件为挠度和弯矩为0。【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。代入特征方程的解

得到01以及02则03则04以及频率方程05由此解得06

所以固有频率振型为第i阶振型有i－1个节点。节点坐标即

【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。01以及02解：边界条件为挠度和转角为0，即代入特征方程的解得到03

化简后得到频率方程求得求出b后得到固有频率

振型为

【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。解：左端的边界条件为挠度和转角为0

解：左端的边界条件为挠度和转角为0

右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力

代入特征方程的解01以及02

求出b后得到固有频率01振型为02进一步化简后得到频率方程

将边界条件代入得到求得

或讨论：k＝0时，频率方程变为即为悬臂梁的情况。k趋于无穷大时，频率方程变为即为左端固定，右端简支的情况。

【思考题】证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：

关于振型函数的正交性和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足

考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则0102对第j阶振型进行上面类似的运算得：

用Fj左乘上式两端，并积分

则i＝j时上两式相减得

对振型函数按下式条件正则化01和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应021.标准坐标（正则坐标）梁在激励力作用下的响应

设初始条件为01将其按标准振型展开022.对初始激励的响应

用rAFj左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应

物理坐标下的响应

根据边界条件求解固有频率和固有振型;01利用标准化条件确定振型中的常数因子;02将初始条件变换到标准坐标;03求标准坐标下的响应;04求物理坐标下的响应。05响应求解步骤：

解：（1）固有频率与相应的固有振型为【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。由正规化条件确定系数Ci

01求得03初始条件。按题意02所以

变换到主坐标下

对外激励的响应分布干扰力设干扰力密度为f(x,t),和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到标准坐标下的解耦方程利用杜哈美积分得0102

（4）响应总响应为

集中力设在x＝x1处受集中力F(t),这时可以用?函数表示为分布形式：F(x,t)dx?(x-x1),方程变为总响应为

集中力偶（不推导，只给出结果）设在x＝x1处受集中力M(t),这时有01总响应为02

根据边界条件求解固有频率和固有振型;利用正规化条件确定振型中的常数因子;求主坐标下的响应;求广义坐标下的响应。强迫振动的响应求解步骤：

求得解：（1）固有频率与相应的固有振型为由正规化条件确定系数Ci【例5】设长为l的简支梁在x＝a处受集中力Fsin?t作用,求响应。

（3）响应

【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用。假设在初始时刻荷重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。

解：（1）均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到干扰力密度可表为

（4）主坐标下的响应其中

（5）广义坐标下的响应

1243增大刚度、增加约束，固有频率提高;增大质量，固有频率