拓展：导数与不等式综合应用（6大题型）原卷版—2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）.pdfVIP

导数与不等式综合应用拓展(6大题型)

喟思维构建

(题型一不等式恒成立求参数问己卜题型四双变量不等式的证明)

(题型二不等式能成立求参数问~数与不等式综合碗)~(题型五数列求和型不等式证明)

(题型三单变量不等式的证明二题型六三角函数型不等式证明)

哪如钝锌8

一、不等式证明的常用思路

1、移项构造函数法：证明不等式〃x)g(x)(或〃x)g(x))转化为证明/(x)-g(x)0(或

f(x)-g(x)o),而构造辅助函数%(x)=/(x)-g(x).

2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题.

在证明过程中，等价转化是关键，此处/(X)mm〉g(X)max恒成立.从而於)〉g。)，但此处/(X)与g(x)

取到最值的条件不是同一个“X的值”.

3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.

4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

5、双变量不等式的处理策略：含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，具体转化方

法主要有二种:整体代换，分离变量，选取主元.

二、不等式成立问题常用的转化规则

1、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立

(1)VxeD,mf(x)4m/(x)mjn

(2)VxeD,mf(x)=mf(x)max

(3)HxeZ),mf(x)f(x)max

(4)HxeZ),mf(x)=mf(x)mn

2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数y=/(x),xe[a,b],y=g^x),x\c,d]

⑴若吃山川，总有/(x)g(x2)成立,故/(尤)_g®*；

(2)若％e[a,6],3xe[c,d],有〃再)g(9)成立，故/(尤)—g(%)；

211rax

(3)若叫e[a,6],3x[c,d],有(占)g(%)成立,故血“

2

(4)若“«凡可，3xE[c,d],有〃占)=8伉)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

2

三、利用导数证明不等式的常用方法

1、直接构造函数法：证明不等式/(x)〉g(x)(或/(x)g(x))转化为证明/(X)-g(x)〉O(或

/(x)-g(x)0),而构造辅助函数力(x)=/(x)-g(x)；

2、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

3、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

四、证明与数列有关的不等式

1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数〃的不等式替代函数不等式中的自变量。通过

多次求和达到证明的目的.此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来.

2、已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不

等式)，还有注意指、对数式的互化，如/〉x+l可化为ln(x+l)x.

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