2024-2025学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）（含答案）.docx

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2024-2025学年吉林省延边二中高一（下）第一次段考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z=?1?i，则|z|=(????)

A.0 B.1 C.2 D.

2.设e1，e2为一组基底，已知向量AB=e1?ke2，BC=2e1?

A.2 B.?2 C.45 D.

3.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=2,b=1,A=45°，B=

A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°

4.已知平面向量a，b满足a?(a+b)=3，且|a|=2，|

A.π6 B.π3 C.2π3

5.已知|a|=2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影向量为(????)

A.e B.?3e C.

6.已知A(?1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，则点P

A.(53,23)或(7,?2) B.(53

7.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+acosB=a，则△ABC的形状是(????)

A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形

8.在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若AP=m

A.37 B.47 C.67

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z=21+3i，其中

A.复数z的共轭复数的模为1 B.复数z在复平面内对应的点在第一象限

C.复数z是方程x2+x+1=0的解

10.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m?1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是(????)

A.若2a+b=(2,6)，则a/?/b

B.若a=?2b，则与b同向的单位向量为(22,?22)

C.若n=1

11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是(????)

A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3,sin∠ABB′=5314，则A′B′=2

C.若AB=2A′B′，则AB′=10BB′

D.若A′

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(1,2)，b=(2,?2)，c=(1,λ).若c//(2a+

13.如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD=45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则该船行驶的距离为______km．

14.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA?sinBsinC=c?ba+b，若a=2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知复数z=(m2?6m+8)+(m?2)i(m∈R)．

(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；

(2)若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数

16.(本小题15分)

已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，?a,b?=60°求：

(1)a?b

17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(B?C)=sinB?sinA．

(1)求C；

(2)若c=23，△ABC的面积为2

18.(本小题17分)

折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S1，a=5．

(1)证明：S1=5sinBsinC2sinA；

(2)若83S1?sinA=103cos(B?C)+5，求sinA的值；

(3)在

19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0απ)角的两条射线，e1,e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系.在α仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，记OP=(x,y)．

(1)在α仿射坐标系中，

①若a=(m,n)，求|a|