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江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知为等比数列，公比，则（????）

A．81 B．27 C．32 D．16

3．设，则（????）

A． B．

C． D．

4．某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（???）

A．194 B．240 C．388 D．480

5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.

下列叙述中正确的是（????）

A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0

B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率

C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率

D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率

6．2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没?重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（???）

A． B． C． D．

7．已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（????）

A．118 B．119 C．120 D．121

8．已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（????）

A． B． C．2025 D．4045

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．可表示为

B．若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种

C．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次

D．学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法

10．在等比数列中，，，则（????）

A．的公比为 B．的前项和为

C．的前项积为 D．

11．已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（???）

A． B．是等比数列

C．时， D．不存在，使得为整数

三、填空题

12．的展开式中常数项为.

13．设数列的前项和为，若，，则的通项公式为．

14．已知直线是曲线与的公切线，则.

四、解答题

15．已知函数及其导函数满足.

(1)求的解析式；

(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程.

16．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.

(1)求、的通项公式：

(2)求数列的前项和．

17．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表：

5

6

7

8

9

0.55

0.50

0.60

0.65

0.70

(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）；

(2)该公司科技人员小李想挑战荡宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值.

参考公式：相关系数

18．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．

(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；

(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．

19．已知每项均不为0的数列满足：，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求数列的最大项；

(3)记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得？如存在，求出这样的数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.

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