专题拓展：与直线有关的距离最值（技巧解密+6考点+过关检测）（原卷版）.docxVIP

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专题拓展：与直线有关的距离最值

一、常用距离公式

1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：．

2、点到直线的距离公式：点到直线的距离．

3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：．

二、点关于直线的对称

1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．

2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，

则

（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为

三、线段和与差的最值问题解题思路

1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；

2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．

考点一：两点间的距离最值

例1．（2023高二上·全国·专题练习）若动点P的坐标为，，则动点P到原点的最小值是.

【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·月考）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是.

【变式1-3】（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（????）

A．2 B． C． D．3

考点二：点到直线的距离最值

例2.（23-24高二上·河北张家口·月考）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】（23-24高二上·山西吕梁·月考）点到直线的距离的最大值（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（23-24高二上·四川内江·月考）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（????）

A．； B．；

C．； D．；

【变式2-3】（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为()

A． B． C．3 D．

考点三：平行线间的距离最值

例3.（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（????）

A．0 B． C． D．

【变式3-1】（23-24高二上·云南楚雄·月考）已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为．

【变式3-2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（????）

A．1 B． C．2 D．

【变式3-3】（22-23高二上·福建龙岩·月考）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为.

考点四：距离之和的最值

例4.（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．

【变式4-1】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（????）

A． B． C． D．6

【变式4-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(????)

A．4 B．8 C． D．

考点五：距离之差的最值

例5.（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为.

【变式5-1】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是．

【变式5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数满足，则的最大值是．

【变式5-3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（????）

A． B． C． D．2

考点六：将军饮马综合应用

例6.（23-24高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（????）

A．13 B．11 C．9 D．7

【变式6-1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最