微分方程模型——数学建模真题解析.pptx

微分方程模型;常微分方程

基本方法;微分方程基础;微分方程解是函数，对应一个改变过程。常微分方程解是随时间t改变函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下等。

偏微分方程不但描述物体随时间改变发生位置改变，而且物体各部分之间位置相对改变。如水流动，烟雾扩散，公路上车流涌动等。;微分方程模型包含两个部分：方程和定解条件。

因为微分方程求解需要借助微分逆运算—积分，而积分出现任意常数，所以方程解不唯一，需要附加条件将所求解唯一确定下来。这么条件称为定解条件。;导数意义：瞬时改变率

在实际上我们碰到描述改变词有

速率(物理)

增加率(经济，生物，人口等)

衰变(原子反应)

边际(经济);微分方程建模方法：

(1)利用导数意义，建立含有导数方程(微分方程)。

(2)微元法。;假如在平衡点x0处，f(x)Jacobi矩阵

全部特征值实部都小于0，则x0是稳定平衡点，假如存在某个特征值实部大于0，则x0是不稳定平衡点。

;稳定平衡点实际意义：

假如微分方程存在稳定平衡点，设x(t)是微分方程解，则当t??时，x(t)趋向于某个稳定平衡点。;例1：某人食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本新陈代谢。在健身训练中，他每千克体重所消耗热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存热量100%有效，且1千克脂肪含热量10000卡，分析这个人体重改变。;常微分方程建模物理方法;分析：上网查一下热传导，我们能够了解到：热传导从温度高地方向温度低地方传导，单位时间传送热量与温差?T成正比，与两个热源距离成反比。即

对于两个固定热源，距离d是常数，则

;问题：现有4000毫升温度为10度化学溶液，将一个体积40毫升温度为90度玻璃球放在溶液中。求溶液温度改变规律。(平均温度);动力学：

牛顿第二定律

能量守恒定律

欧拉-拉格朗日方程

空气和水阻力;(1)利用Newton定律f=ma得到

即

(2)利用能量方程建模。设?=0点为零势点

则

等式两边求导数则得到第一个方程。;例2：一只装满水圆柱形桶，底半径3m，高6m。底部有一个直径0.02米孔。

(1)水多长时间能够流光？

(2)假如孔在侧面，而桶放在距地面3m高度。求水流喷出距离改变规律。;;练习：假如例2中桶是漏斗形(倒圆锥)或球形，计算水深改变规律。;练习题：

1、在一所大学，某个教师天天从图书馆借出一本书，而图书馆每七天收回所借图书10%。2年后，这个教师手中有大约多少本图书馆书？

2、某学院教育基金，最初投资P元，以后按利率r连续复利增加。另外，每年在基金开算时间，都要投入新资本A/年求7年累计资金数量。

另外，假如每年在基金开算时间，把其中20%用于奖学金发放，求7年后累计资金数量。

3、一场降雪开始于中午前某个时刻，降雪量稳定。某人从正午12点开始清扫人行道，他铲雪速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什么时间开始下？另外，假如他在下午4点开始回头清扫，什么时间回到开始清扫地点？;C题饮酒驾车

据报载，年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成占有相当百分比。

针对这种严重道路交通情况，国家质量监督检验检疫局年5月31日公布了新《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准要求，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检验时符合新驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检验时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又迷惑，为何喝一样多酒，两次检验结果会不一样呢？;请你参考下面给出数据（或自己搜集资料）建立饮酒后血液中酒精含量数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

酒是在很短时间内喝；

酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝。

3.怎样预计血液中酒精含量在什么时间最高。

4.依据你模型论证：假如天天喝酒，是否还能开车？

5.依据你做模型并结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒司机怎样驾车提出忠言。

;时间(小时);在这个问题中，有两个问题：

(1)酒精在身体中吸收和排除过程描述。

(2)利用所给出数据，分析大李详细例子。;这是某人喝下两瓶啤酒后，测得血液中酒精含量数据