高考复习专项之数列不等式综合题示例.docVIP

数列不等式综合题例如

数列不等式综合题，是高考数学的常见试题.这类试题，对数列方面的考查多属根底知识和根本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比拟宽，难度的调控幅度比拟大，有时到达很高的层级.试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻.

这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列.对数列的提问，多涉及通项、前n项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列.至于有关不等工的提问，可以是含变量n或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比拟，等等.试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份属于后者.

对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的根底知识和根本技能，同时还应具备比拟娴熟的代数变换技能和技巧.下面借助假设干实例，谈谈解答这类试题的个人点滴体验，希望有助考生理解.

例1设等比数列的公比为，前n项和

〔Ⅰ〕求的取值范围；

〔Ⅱ〕设，记的前n项和为，试比拟与的大小

分析设定的数列是满足的一类等比数列，而不是确定的一个具体数列，

而不是确定的一个具体数列.提出的两个问题都属于不等式问题.〔Ⅰ〕的求解可按等价关系建立关于q的不等式，解之可得；也可对q作分类讨论，再归纳出答案.〔Ⅱ〕的求解，可用差值法，也可用比值法.

〔Ⅰ〕的解：

方法一

因为q是等比数列的公比，Sn是数列的前n项和，所以，且

因此，等价于：且以下条件之一成立：

①q=1；②③

解不等式组②得：；解不等式组③得：或.

综合得q的取值范围为.

方法二

根据等比数列性质，在题设下，必有

，公比.

当时，；

当或时，

；

当q=1时，.

综合得q的取值范围为〔Ⅱ〕的解：

方法一

∵，

∴，

因为且，所以得：

对任意正整数n，有：

假设或，那么，即；

假设或，那么，即；

假设或q=2，那么，即.

方法二

∵，，∴，

∵的两根为和2，

∴

依题设，且由〔Ⅰ〕知或，所以得：对任意正整数n，有：

当

当

当或时，.

体验

〔1〕求取值范围，务必勿忘其充要性.只顾必要性，忘了充分性，易使范围扩大；只顾充分性，忘了必要性，易使范围缩小.上述〔Ⅰ〕的解法一，采用等价性陈述方式；解法二，采用了从必要性入手，再讨论充分性，然后综合得解.

〔2〕对等比数列，前n项的和Sn依赖于a1和q的两上参量.由前述讨论可见：使的充要条件为a10且.因此，严格地说，第〔Ⅰ〕问的完整答案似乎应为：在等比数列中，，而当时，q的取值范围为空集，当时，q的取值范围为.不过，对该题也可作这样的理解：在题设下，不可能出现的情况，而第〔Ⅰ〕问要求的只是q的取值范围.所以前述的解答也算完整.

〔3〕上述〔Ⅱ〕的两个解法，差值法与比值法.由于Tn与Sn仅相差一个因子〔q的二次式〕，所以两法几乎没有本质差异，只是陈述表达形式有所不同.在前述的解法中，都应用了等比数列和二次函数式〔方程〕的根本知识，但具体的知识点有所差异，有的是最根底的入门知识，有的是经过派生的常用性质.学会灵活运用根本知识解题，减少记忆量，提高活用技能，是解题训练的一项重要任务.

〔4〕此题虽属中低档题，但也具备相当的综合性，展现了高考试题的常见特点.

例2设数列的前项的和，

〔Ⅰ〕求首项与通项；

〔Ⅱ〕设，，证明：

分析取n=1，由等式即可求得a1.为求通项an，可先将条件化为关于an+1与an的递推关系求解，也可先求Sn，再得an.至于不等式的证明，可将公式化简，进行论证.

〔Ⅰ〕的解：

方法一

依设，得，∴a1=2.

当时，，

整理得，∴，

得通项

方法二

依设，得

因为，所以，得a1=2.

当时，，∴，

整理得∴

即有

得通项

方法三

同上法得a1=2，

①

∴，，

整理得

即有②

由2×②－①得

当n=1时，该式也成立，所以，通项为

.

方法四

因为，当时，所以由题设得，

当时，.

∴，①

从而，，

即得

∴②

由2×②－3×①，整理得

该式对n=1也成立，从而得通项

即

〔Ⅱ〕的证明：

方法一

∵

∴

方法二

∵，

∴

得

∴

猜想

〔i〕当n=1时，上面已证明猜想成立；

〔ii〕假设当时，猜想成立，即

，

那么

即当n=k+1时猜想也成立.

综合〔i〕〔ii〕得对任意正整数n，猜想都成立.

所以，

体验

〔1〕数列前n项的和Sn与通项an的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列的递推关系式或数列的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用到公式许多时候，容易忽略，这个式子，同时，对于另一式子中n的取值范围，也容易无视，以致出现过失.对此，