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高等代数

数学竞赛课程辅导讲座

第一讲多项式

1多项式的整除与相等

多项式的整除

利用多项式的根的性质证明两个多项式的整除是常用的方法。

如果多项式的每一个复根都是的根，且多项式没有重根，那么。

例1设，，证明。

证法1设是的任一根，那么。而

也是的根，而且多项式没有重根，所以。

证法2

即。

例2证明多项式

不能整除多项式

证明此题仍考虑用多项式的根。由

取复数，，即是的一个根。

因为，有个互不相同的复数根，所以与没有公共根。又是的根，所以不是的根，因此。

例3求一个多项式，使，

解设

，

那么，所以

取，那么上式成立。于是＋，，所以

例4，证明

。

证明从的构成易使人联想到公式

所以

即

所以。

例5设是中不可约多项式，，如果与有一个公共复根，那么在中，。

证法1是与的公共复根，那么与在复数域上的最大公因式

=

不是常数。由于，都在中，所以它们的最大公因式也在中。而，且不可约性，得到，其中，因此.

证法2用反证法

假设，由多项式的不可约性，必有＝1，因此存在多项式，使得

因为，用代入上式得0＝1，得到矛盾。所以。

例6，假设有，

(1)

(2)

其中，那么.

证明把〔1〕，〔2〕两式相加得

所以，由此得到

〔3〕

〔1〕－〔3〕得，，从而又有.

多项式相等

常用方法：设，互不相同，且＝，那么。

例1

证明。

证明记，易见。

因为

就是二项展开式

中时的值，所以

，，且

而显然

，，，

所以对，都有＝因此。

例2设都是次数的多项式，是互不相同的数，证明行列式

证明这个行列式按行列式的定义展开后是一个多项式，记为。假设，那么，而＝＝，有n－1个不同的根，这是不可能的。所以。

其它方法

例2设有整系数多项式

，

并且整数，证明：如果，那么。

证明由，即

因此。但

所以。于是得到

用同样的方法得到，依次类推，最后可得。所以＝。

2最大公因式和重因式

例1设是任意多项式，证明

常用方法：如果满足条件〔1〕和

〔2〕对任意的

那么是与的一个最大公因式：

证明记，那么

即是的一个公因式。

又设，那么可推出，因此

。

所以是的最大公因式，因此等式成立。

例2设，证明对任意任意多项式，

证明记

证明是三个多项式的最大公因式即可。

由。

又对任意的，必有

。这就说明是的一个最大公因式，因此等式成立。

例3假设，那么.

证明可以利用结论：假设，，那么

证法1设，那么且

因此

同理，所以

＝1

证法2假设1，取的不可约因式，那么

当可得，所以=

1，得到矛盾。

证法3由等式以及

可得

＝

＝

因此

例4设是大于1的整数，

，

证明当且仅当与互素时，互素。

证明设与互素，那么由整数，使

设是的任一根，那么，且，这说明，即,所以的根一定不是的根，同样的根一定不是的根，即与无公共根，所以互素。

反之，如果互素，那么必有与互素。否那么的话，设，，那么，消去因式后，那么有

与矛盾。

3因式分解与重因式，多项式的根与重根

例1证明多项式

的展开项中无奇数次项。

如果把上述两个多项式直接相乘，那要麻烦得多，不是好方法。

以下多项式的分解式应该是熟知的：

证明

所以，因此

中无奇数次项。

例2证明

没有重因式。

重因式的判别：在中有重因式常数。

证法1考虑微商

那么。而

所以与的因式都是的因式，形式为。由于的常数项，所以，因此1，没有重因式。

证法2假设有重因式，那么一定有复数的重根，，由

＝

得。但0显然不是的根，得到矛盾。所以无重根。

例3设证明：如果在数域上，，那么在