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圆知识点汇总以及试题

考点一、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

〔3〕平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

在圆中，弧弦中点切记找圆心连半径，应用垂径定理解决问题

考点二、圆的对称性

1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点三、圆周角定理及其推论

1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点四、过三点的圆

1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心〔直角三角形的外心在斜边的中点处〕

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。

5点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；

2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；

考点五、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离无交点；

2、直线与圆相切有一个交点；

3、直线与圆相交有两个交点；

4判定定理〔1〕切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

证明切线的方法：①直线过圆上点作连接正等于半径

②未知直线过圆上点，作垂直证等于半径

〔2〕性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕推论1圆心与切点的连线垂直于切线

考点六、圆与圆的位置关系外离〔图1〕无交点；

外切〔图2〕有一个交点；相交〔图3〕有两个交点；

内切〔图4〕有一个交点；内含〔图5〕无交点；

4、切线长定理

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

5.三角形外接圆内切圆

三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心〔到三角形个顶点的距离相等〕

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。〔圆心和个顶点的连线平分三角形的内角〕

〔2〕△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，那么内切圆的半径r=。

〔3〕S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。

考点七、圆内正多边形的计算

1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

3、正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

4、正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：

5、正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.

考点八、与正多边形有关的概念

1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

5正多边形的面积：

6、正多边形的对称性

正多边形都是轴对称图形。〔一个正n边形共有n条对称轴，〕每条对称轴都通过正n边形的中心。

当边数为偶数的正多边形是中心对称图