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信号与系统试题库

一、选择题

1.信号\(f(t)=e^{3t}\sin(2t)u(t)\)的拉普拉斯变换\(F(s)\)为（）

A.\(\frac{2}{(s+3)^2+4}\)

B.\(\frac{2}{(s3)^2+4}\)

C.\(\frac{s+3}{(s+3)^2+4}\)

D.\(\frac{s3}{(s3)^2+4}\)

答案：A

详细解答：

根据拉普拉斯变换的性质，已知\(L[\sin(\omegat)u(t)]=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)，对于\(f(t)=e^{at}f_1(t)\)，其拉普拉斯变换\(F(s)=F_1(s+a)\)，这里\(f_1(t)=\sin(2t)u(t)\)，\(a=3\)，\(\omega=2\)。

\(L[\sin(2t)u(t)]=\frac{2}{s^{2}+4}\)，那么\(L[e^{3t}\sin(2t)u(t)]=\frac{2}{(s+3)^2+4}\)。

2.已知离散序列\(x[n]=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)），其\(Z\)变换\(X(z)\)为（）

A.\(1+2z+3z^{2}+4z^{3}\)

B.\(1+2z^{1}+3z^{2}+4z^{3}\)

C.\(z^{3}+2z^{2}+3z+4\)

D.\(z^{3}+2z^{2}+3z^{1}+4\)

答案：B

详细解答：

离散序列\(x[n]\)的\(Z\)变换定义为\(X(z)=\sum_{n=\infty}^{\infty}x[n]z^{n}\)，对于\(x[n]=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)），\(X(z)=x[0]z^{0}+x[1]z^{1}+x[2]z^{2}+x[3]z^{3}=1+2z^{1}+3z^{2}+4z^{3}\)。

二、填空题

1.已知连续时间信号\(f(t)\)的频谱\(F(j\omega)\)，则\(f(at)\)（\(a\gt0\)）的频谱为\(\frac{1}{a}F(j\frac{\omega}{a})\)。

详细解答：

根据傅里叶变换的尺度变换性质，若\(f(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}F(j\omega)\)，则\(f(at)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})\)，当\(a\gt0\)时，\(f(at)\)的频谱为\(\frac{1}{a}F(j\frac{\omega}{a})\)。

2.单位冲激响应\(h(t)\)是系统在__单位冲激信号\(\delta(t)\)__作用下的零状态响应。

详细解答：

根据单位冲激响应的定义，系统在单位冲激信号\(\delta(t)\)激励下的零状态响应称为单位冲激响应\(h(t)\)。

三、判断题

1.若系统的输入输出关系为\(y(t)=2x(t)+3\)，则该系统是线性系统。（×）

详细解答：

线性系统需满足可加性和齐次性。设\(x_1(t)\)输入时输出为\(y_1(t)=2x_1(t)+3\)，\(x_2(t)\)输入时输出为\(y_2(t)=2x_2(t)+3\)。

对于可加性，\(x_1(t)+x_2(t)\)输入时，\(y(t)=2(x_1(t)+x_2(t))+3\)，而\(y_1(t)+y_2(t)=2x_1(t)+3+2x_2(t)+3=2(x_1(t)+x_2(t))+6\)，\(y(t)\neqy_1(t)+y_2(t)\)，不满足可加性，所以该系统不是线性系统。

2.离散序列\(x[n]=\cos(\frac{\pi}{4}n)\)是周期序列。（√）

详细解答：

对于离散序列\(x[n]=\cos(\omega_0n)\)，若\(\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{N}{k}\)（\(N,k\)为正整数且互质），则序列是周期序列，周期\(N\)是使\(x[n+N]=x[n]\)成立的最小正整数。

这里\(\omega_0=\frac{\pi}{4}\)，\(\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8\)，所以\(x[n]=\cos(\frac{\pi}{4}n)\)是周期为\(N=8\)的周期序列。

四、解答题

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