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第05讲空间向量及其应用(精练)
A夯实基础
一、单选题
1.(2022·河南省实验中学高二阶段练习)设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】对于A,设,则,即,该方程组无解,故A符合题意;
对于B,设,则,即,解得,故B不符合题意;
对于C,设,则,即,解得,故C不符合题意;
对于D,设,则,即,解得,故D不符合题意;
故选:A.
2.(2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习)若直线的方向向量为,平面的法向量为,则(????)
A. B. C. D.与斜交
【答案】A
【详解】由题意得:,则,.
故选:A
3.(2022·浙江·杭州四中高二期末)已知向量,,且与互相平行,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】,,
则,解得,
故选:D
4.(2022·河北保定·高二阶段练习)如图,在正三棱柱中,,E是的中点,F是的中点,若点G在直线上,且平面AEF,则(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】如图:以C为原点,CB,所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则.
由题可设,则.
设平面AEF的法向量,则,
令,则,
得.
由,得,
则,,
即.
故选:A
5.(2022·四川·棠湖中学高二阶段练习(理))如图,是正三角形所在平面外一点,,分别是和的中点,,且,则异面直线与所成角的余弦值为(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】不妨设,
如图建立空间直角坐标系,
则相关各点坐标为,,,,
又,分别是和的中点,
则,.
所以,,
所以,,
因为异面直线所成的角为锐角或直角,
所以异面直线与所成角的余弦值为,
故选:B.
6.(2022·河南·鄢陵一中高二期中(理))如图,在四棱锥中,平面,,,,已知是边的中点,则与平面所成角的正弦值为(????)
A. B. C. D.2
【答案】A
【详解】以为坐标原点,以,,的方向分别为,,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以.取平面的一个法向量为,则,即与平面所成角的正弦值为.
故选:A.
7.(2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习)已知平面的一个法向量为,点在平面内,若点到平面的距离,则(????)
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【详解】由题意,所以,
即,
解得或.
故选:C
8.(2022·河南·高二阶段练习)有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点,则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】将半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为半正多面体的棱长为,故正方体的棱长为
所以,.
设,则.
所以.
令,则,
因为,所以.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
故选:C
二、多选题
9.(2022·全国·高二课时练习)已知空间向量,,则下列正确的是(???????)
A. B. C. D.,
【答案】AB
【详解】向量,,
,则A正确,
,则B正确,
,则C错误,
,则D错误.
故选:AB
10.(2022·辽宁营口·高二开学考试)已知向量,,,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【详解】解:因为,,
所以,所以,故A错误;
因为,,所以,故B正确;
因为,所以,故C正确;
因为,,所以,所以,故D正确.
故选:BCD
三、填空题
11.(2022·全国·高二课时练习)若向量,,其中,则的最小值为______.
【答案】2
【详解】因为,
故当时,模长最小为2.
故答案为:2
12.(2022·全国·高二专题练习)已知为平面的一个法向量,为直线的方向向量.若,则__________.
【答案】##
【详解】由于,
所以.
故答案为:
四、解答题
13.(2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习)已知向量,.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1);
(2).
(1)
∵,,
∴,,
∴;
(2)
设与的夹角为,则,
,,,,
∴,
∴向量与夹角的余弦值为.
14.(2022·湖北孝感·高二阶段练习)如图,已知是边长为的正三角形,,,分别是,,边的中点,将沿折起,使点到达如图所示的点的位置,为边的中点.
(1)证明:平面.
(2)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明:连接,,设与交于点,连接.
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