24-25版：§8.2 立体图形的直观图.docxVIP

［学习目标］1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(重点)2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图.(难点)3.掌握直观图与原图形之间的长度和角度关系.

导语

北京冬奥会的场馆是不是很美？“冰立方”“雪如意”等一个个极富创意和科技含量的竞赛场馆让我们从不同的角度领悟了空间几何体的美.正如苏轼在《题西林壁》中写的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.为了将这些空间几何体画在纸上，使我们能根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识.

一、水平放置的平面图形的直观图的画法

问题1我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？

提示在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图1所示，当两坐标轴的夹角不是90°时，如图2所示，台面看起来就是平行四边形了.

知识梳理

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

注意点：斜二测画法的“三变”与“三不变”.

(1)三变.

①坐标轴的夹角改变；

②与y轴平行的线段的长度改变；

③图形的形状改变.

(2)三不变.

①线段的平行关系不变；

②与x轴平行或重合的线段的长度不变；

③点的相对位置不变.

例1用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图.

解(1)如图①，以平行于CD的直线为x轴，过点A且垂直于CD的直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，CD与y轴交于点F，再建立如图②所示的平面坐标系Oxy，使∠xOy=45°.

(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系Oxy中作OH=OH，OG=OG，OA=12OA，OF=12OF.过F作CD∥x轴且CD=CD，CF=

(3)在平面坐标系Oxy中，过G作GB∥y轴，且GB=12GB，过H作HE∥y轴，且HE=12HE.连接AB，BC，DE，EA，擦去辅助线，得五边形ABCDE为正五边形ABCDE水平放置的直观图，如图

反思感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，(1)一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.(2)原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.(3)确定多边形顶点的位置.(4)借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.

跟踪训练1如图所示，在△ABC中，BC=8，BC边上的高AD=6，试用斜二测画法画出其直观图.

解(1)在△ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系Oxy，

再建立如图②所示的坐标系Oxy，使∠xOy=45°.

(2)在坐标系Oxy中，在x轴上截取OB=OB，OC=OC；

在y轴上截取OA，使OA=12OA

(3)连接AB，CA，擦去辅助线，得到△ABC，即为△ABC的直观图(如图③所示).

二、空间几何体的直观图的画法

问题2我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？

提示先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体的直观图.

知识梳理

1.立体图形直观图的画法步骤

(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

(2)画底面：按照平面图形的画法，画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中的平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

2.圆柱的直观图的画法步骤

(1)画轴：画x轴、z轴，使∠xOz=90°.

(2)画下底面：以O为中点，在x轴上取线段AB(即圆柱的底面直径)，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面.

(3)画上底面：在Oz上截取点O，使OO等于侧面母线长，过点O作平行于轴Ox的轴Ox，类似于下底面的作法作出圆柱的上底面，得到A，B.

(4)成图：连接AA，BB，整理得到圆柱的直观图.

3.圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.

4.球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆.

例2画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

解画法：(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，∠xOy=45°，∠xOz=90°.

(2)画底面.画出正方形的直观图ABCD，使AB，CD平行于x轴，AD，BC平行于y轴，且O为正方形ABCD的中心，如图①.

(3)画顶点.在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高，如图②.

(4)成图.连接PA，PB，PC，PD，如图③，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图④.

反思感悟画空间几何体的直观图应遵循的原则

(1)对于一