广东省惠州市第一中学等六校2025届高三下学期二月联考数学试题（含答案解析）.docx

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广东省惠州市第一中学等六校2025届高三下学期二月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（????）

A． B． C． D．

2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．已知，则（????）

A． B．

C． D．

4．已知平面向量满足，，且，则（????）

A． B． C．2 D．1

5．若直线与曲线相切，则（????）

A． B．1 C． D．

6．已知是等比数列，则“，，”是“是递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（????）

A． B． C． D．

8．一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为则事件“”发生的概率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（????）

A． B．

C．函数有5个零点 D．在上单调递增

10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，设为坐标原点，则（????）

A． B．

C． D．若在抛物线准线上的射影为，则三点共线

11．如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（????）

A．存在满足

B．若平面，则点的轨迹长度为

C．若，则点到平面距离最小值为

D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是

三、填空题

12．的展开式中项的系数为．

13．已知，，则．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为和，下顶点为，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为．

四、解答题

15．2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员．

(1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求；

(2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

16．如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，，.

(1)求证：平面平面；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

17．已知数列的前项和为，且，

(1)证明是等差数列；

(2)求；

(3)求证：

18．已知曲线，过上点作两条互相垂直的直线，其中与的另一交点为，与的另一交点为．

(1)写出曲线的对称轴（不需证明）

(2)证明：曲线是双曲线；

(3)若到直线的距离为，求直线的方程．

19．定义：记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.

(1)求证：为区间上的凹函数；

(2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围；

(3)求证：当时，.

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《广东省惠州市第一中学等六校2025届高三下学期二月联考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

C

C

B

C

A

A

ABC

ACD

题号

11

答案

BCD

1．B

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，即可根据对称求解.

【详解】由可得，

故，

故选：B.

2．D

【分析】根据集合的包含关系即可求解.

【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以.

故选：D.

3．C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及中间值进行比较即可.

【详解】

，，

故选：C.

4．C

【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.

【详解】因为，所以，即，

因为，所以，

，又，

所以.

故选：C.

5．B

【分析】设切点，则，利用导数求曲线的斜率，进而可得.

【详解】设直线与曲线的切点为，故

由得，故，得，故.

故选：B

6．C

【分析】利用等比递增数列的定义判断即可.

【详解】（1）充分性证明：设数列的公比为q,由，得，

当时，，则或，当时，显然是递增数列，

当时，则数列为