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江苏省常州市2024-2025学年高二下学期4月期中质量调研数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知点，若向量，则点B的坐标是（????）.

A． B． C． D．

2．设随机变量服从正态分布，则等于（????）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

3．已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

5．某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（????）

A． B． C． D．

6．已知，下列说法正确的是（????）

A．在处的切线方程为

B．的单调递减区间为

C．的极值点有两个

D．直线与曲线有两个不同的交点

7．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（????）

A． B． C． D．

8．设，则（????）

A．的极大值为1 B．与有不同的极大值

C．时， D．时，

二、多选题

9．下列关于随机变量的说法正确的是（????）

A．若服从正态分布，则

B．服从两点分布，且，设，那么

C．若服从超几何分布，则期望

D．若服从二项分布，则

10．已知函数，则下列说法中正确的有（????）

A．函数有两个极值点，且点和点关于点对称

B．若关于的方程有一解，则

C．若在上有极小值，则

D．若在上有最大值3，则

11．如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（????）

A．异面直线和所成的角为

B．平面和平面有相同的法向量

C．异面直线和的距离为

D．二面角的余弦值为

三、填空题

12．设，且，则.

13．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为．

14．已知函数的最小值是，则实数．

四、解答题

15．已知向量，，．

(1)若，求；

(2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值．

16．设函数，．

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）；

(2)在（1）的条件下求的极大值；

(3)若在上存在减区间，求实数的取值范围．

17．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形．

(1)求证：平面；

(2)若，求二面角的正弦值．

18．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

工作强度指数

人数

10

81

9

名称

无压力工作者

轻压力工作者

重压力工作者

(1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比；

(2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且．

①若落在和落在内的概率相等，求的值；

②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望．

19．已知函数．

(1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围；

(2)若，且有两个极值点，其中，问：是否存在实数，使得成立？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由．

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《江苏省常州市2024-2025学年高二下学期4月期中质量调研数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

A