专题拓展：与圆锥曲线有关的动点轨迹问题（技巧解密+6考点+过关检测）（原卷版）.docxVIP

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专题拓展：与圆锥曲线有关的动点轨迹问题

一、轨迹与轨迹方程

1、轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了.

（1）求轨迹方程的实质是将形转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；

（2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.

2、解轨迹问题注意：

（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.

（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.

二、求动点的轨迹方程的方法

1、定义法

（1）定义：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法.

（2）常用的相关结论：

=1\*GB3①到两个定点的距离之比为常数λ（λ≠1)的点的轨迹是圆，以这种方式定义的圆叫做“阿波罗尼斯圆”；

=2\*GB3②定圆上一动点和圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆；

=3\*GB3③定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是双曲线；

=4\*GB3④如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为与一个外切，与另一个内切，那么动圆的圆心轨迹为椭圆；

=5\*GB3⑤如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为与其中一个定圆外切，与另一个定圆内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线；

=6\*GB3⑥如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心的轨迹为双曲线的一支；

=7\*GB3⑦如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（且直线与该定圆不相切)，那么动圆的圆心轨迹为抛物线.

2、直译法

（1）定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程.

（2）方法步骤：

①建系，建立适当的坐标系；

②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)；

③列式，列出动点P所满足的关系式；

④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；

⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

3、相关点法（代入法）

（1）定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法.

（2）方法步骤：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

4、参数法

（1）定义：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程.这种方法称为参数法.

（2）方法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；

5、交轨法

（1）定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹.这种方法称为交轨法.

（2）方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

考点一：定义法求动点轨迹

例1．（23-24高二上·河南郑州·期中）若点满足方程，则点的轨迹是（????）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（????）

A．圆 B．射线

C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆

【变式1-2】（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（????）

A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆

【变式1-3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（????）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线

考点二：直接法求动点轨迹

例2.（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（????）

A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【变式2-1】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点