湖南师范大学《数值分析》课件-第8章解线性方程组的迭代法.ppt

数值分析及计算软件湖南师范大学

《数值分析》

第八章

解线性方程组的迭代法

数值分析及计算软件

第八章

解线性方程组的迭代法

Ø8.1迭代法的基本概念

q直接法的缺点：

l运算量大，不适合大规模的线性方程组求解

l无法充分利用系数矩阵的稀疏性

迭代法

从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋

向于真解的无穷序列

l只需存储系数矩阵中的非零元素

l运算量不超过O(kn2)，其中k为迭代步数

迭代法是目前求解大规模线性方程组的主要方法

基本问题是：

Ø如何构造迭代格式；

Ø迭代序列是否收敛；

Ø收敛速度如何；

Ø如何估计误差。

例1求解线性方程组

8x3x2x20,

123

4x111x2x333,(1.2)



6x13x212x336.

记为Ax=b,即

832x120



4111x233.

6312x336

精确解x*=(3,2,1)T.

改写原方程组为

x(3x2x20)/8,

123

x2(4x1x333)/11,



x3(6x13x236)/12.

或写为x(k+1)=Bx(k)+f,即

03220

x188x18



x401x33.

21111211



x630x36

31212312

任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,得到x(1)=(2.5,3,3)T.

反复迭代

(k1)(k)(k)

x1(3x22x320)/8,

(k1)(k)(k)

x2(4x1x333)/11,

(k1)(k)(k)

x3(6x13x236)/12.

即：x(k+1)=Bx(k)+f，(k=0,1,2,…)

x(10)(3.000032,1.999838,0.9998813)T,

(10)x(10)x*0.000187.



A的一个

Ø矩阵分裂迭代法基本思想

矩阵分裂

A=MN

Ax=b-Mx=Nx+b

M非奇异

xM1NxM1b

给定一个初始向量x(0)，可得迭代格式

(k1)(k)

xBxfk=0,1,2,…

其中B=M-1N称为迭代矩阵

Ø问：对于任何一个方程组，按迭代法