常系数齐次方程课件.pptVIP

*運行時,點擊按鈕“推廣”,可顯示高階常係數線性微分方程解的結構.機動目錄上頁下頁返回結束常係數齊次方程基本思路:求解常係數線性齊次微分方程求特徵方程(代數方程)之根轉化二階常係數齊次線性微分方程:和它的導數只差常數因數,代入①得稱②為微分方程①的特徵方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r為待定常數),①所以令①的解為②則微分其根稱為特徵根.機動目錄上頁下頁返回結束2.當時,特徵方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特徵方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束3.當時,特徵方程有一對共軛複根這時原方程有兩個複數解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束小結:特徵方程:實根特征根通解以上結論可推廣到高階常係數線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結束若特徵方程含k重複根若特徵方程含k重實根r,則其通解中必含對應項則其通解中必含對應項特徵方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結束(n階常係數齊次線性微分方程)例1.的通解.解:特徵方程特徵根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:特徵方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得於是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.解:由高階微分方程(2)例1知,位移滿足品質為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規律立坐標系如圖,設t=0時物體的位置為取其平衡位置為原點建因此定解問題為自由振動方程,機動目錄上頁下頁返回結束方程:特徵方程:特徵根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動情況(n=0)機動目錄上頁下頁返回結束解的特徵:簡諧振動A:振幅,?:初相,週期:固有頻率機動目錄上頁下頁返回結束(僅由系統特性確定)方程:特徵方程:特徵根:小阻尼:nk這時需分如下三種情況進行討論:2)有阻尼自由振動情況大阻尼:nk臨界阻尼:n=k解的特徵解的特徵解的特徵機動目錄上頁下頁返回結束(nk)小阻尼自由振動解的特徵:由初始條件確定任意常數後變形運動週期:振幅:衰減很快,隨時間t的增大物體趨於平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結束(nk)大阻尼解的特徵:1)無振盪現象;此圖參數:2)對任何初始條件即隨時間t的增大物體總趨於平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結束(n=k)臨界阻尼解的特徵:任意常數由初始條件定,最多只與t軸交於一點;即隨時間t的增大物體總趨於平衡位置.2)無振盪現象;機動目錄上頁下頁返回結束例4.的通解.解:特徵方程特徵根:因此原方程通解為例5.解:特徵方程:特徵根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結束例6.解:特徵方程:即其根為方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束例7.解:特徵方程:特徵根為則方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束例8.為特解的4階常係數線性齊次微分方程,並求其通解.解:根據給定的特解知特徵方程有根:因此特徵方程為即故所求方程為其通解為機動目錄上頁下頁返回結束內容小結特徵根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常係數線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結束*運